Koset Kiri dan Koset Kanan

Konsep koset memungkinkan kita untuk membagi suatu grup menjadi himpunan-himpunan bagian yang saling asing (disjoint) dan memiliki ukuran yang sama.

1. Definisi Koset

Definisi (Koset Kiri dan Koset Kanan)

Misalkan $G$ adalah suatu grup dan $H \leq G$ . Untuk setiap $a \in G$ :

Koset Kiri: $a H = {ah : h \in H}$
Koset Kanan: $H a = {ha : h \in H}$

Unsur $a$ disebut sebagai representatif (perwakilan) dari koset tersebut.

2. Sifat-Sifat Utama Koset

Lemma (Sifat Partisi Koset)

Misalkan $H \leq G$ dan $a, b \in G$ . Maka berlaku:

$a \in a H$ .
$a H = H ⟺ a \in H$ .
$a H = b H$ atau $a H \cap b H = \emptyset$ . (Dua koset identik atau lepas sama sekali).
$a H = b H ⟺ a^{- 1} b \in H$ .

Koleksi seluruh koset kiri dari $H$ membentuk partisi dari $G$ : $G = ⋃_{a \in G} a H$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Koset dalam Z)

Misalkan $G = Z$ dan $H = 3 Z = {\dots, - 6, - 3, 0, 3, 6, \dots}$ . Tentukan semua koset kiri dari $H$ dalam $G$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Koset S3 terhadap H = {(1), (12)})

Misalkan $G = S_{3}$ dan $H = {(1), (12)}$ . Tentukan semua koset kiri dan koset kanan dari $H$ dalam $G$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Koset Kiri:
- $(1) H = (12) H = {(1), (12)}$
- $(13) H = (123) H = {(13), (123)}$
- $(23) H = (132) H = {(23), (132)}$
Koset Kanan:
- $H (1) = H (12) = {(1), (12)}$
- $H (13) = H (132) = {(13), (132)}$
- $H (23) = H (123) = {(23), (123)}$ Tampak bahwa $(13) H \neq = H (13)$ , koset kiri tidak selalu sama dengan koset kanan. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup →

1. Definisi Koset

2. Sifat-Sifat Utama Koset

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup

Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup

Diskusi & Tanya Jawab

Title