Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup

Teorema Lagrange merupakan salah satu hasil paling fundamental dalam teori grup hingga, yang memberikan batasan ketat bahwa orde subgrup harus membagi habis orde grup induknya.

1. Indeks Subgrup dan Teorema Lagrange

Definisi (Indeks Subgrup)

Banyaknya koset kiri (atau kanan) yang berbeda dari $H$ dalam $G$ disebut indeks dari $H$ dalam $G$ , dilambangkan dengan $[G : H]$ .

Teorema (Teorema Lagrange)

Jika $G$ adalah grup hingga dan $H \leq G$ , maka $∣ H ∣$ membagi $∣ G ∣$ . Lebih spesifik:

$∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣$

Bukti

Koset-koset kiri dari $H$ membentuk partisi dari $G$ menjadi $k = [G : H]$ koset saling asing. Setiap koset $a_{i} H$ memiliki kardinalitas yang sama dengan $∣ H ∣$ . Maka $∣ G ∣ = \sum_{i = 1}^{k} ∣ a_{i} H ∣ = k \cdot ∣ H ∣$ . $■$

■

2. Akibat Teorema Lagrange

Korolari (Orde Unsur Membagi Orde Grup)

Jika $G$ adalah grup hingga dan $a \in G$ , maka orde dari unsur $a$ membagi $∣ G ∣$ . Khususnya, $a^{∣ G ∣} = e$ .

Korolari (Teorema Kecil Fermat)

Untuk setiap bilangan bulat $a$ dan bilangan prima $p$ :

$a^{p} \equiv a (mod p)$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Subgrup Berorde 12 dan 35)

Diberikan grup $G$ dan dua subgrup $H, K \leq G$ dengan $∣ H ∣ = 12$ dan $∣ K ∣ = 35$ . Tentukan $∣ H \cap K ∣$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Indeks Subgrup 2)

Buktikan bahwa jika $H \leq G$ dengan $[G : H] = 2$ , maka $a H = H a$ untuk setiap $a \in G$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Karena $[G : H] = 2$ , ada 2 koset kiri: $H$ dan $G ∖ H$ . Ada 2 koset kanan: $H$ dan $G ∖ H$ .

Jika $a \in H ⟹ a H = H = H a$ .
Jika $a \in / H ⟹ a H = G ∖ H = H a$ . Maka $a H = H a$ untuk semua $a \in G$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Koset Kiri dan Koset Kanan
Sub-Topik Selanjutnya: Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange →

Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup

1. Indeks Subgrup dan Teorema Lagrange

2. Akibat Teorema Lagrange

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Koset Kiri dan Koset Kanan

Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title