Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Struktur Aljabar

Misalkan $\sigma =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 6& 9& 5& 7& 10& 1& 3& 2& 8& 4\end{array}\right)\in S_{10}.$ Orde dari $\sigma$ adalah $\dots$

Nilai maksimum dari $|G|$ di antara semua subgrup $G$ dari ${\mathbb{Z}}_{2014}$ dengan $G\ne {\mathbb{Z}}_{2014}$ adalah $\dots$

Banyak unit gelanggang (ring) ${\mathbb{Z}}_{13}$ adalah $\dots$

Semua bilangan bulat $s$ sehingga $I_s:=\{f\in \mathbb{Z}[x]\mid f(2014)=s\}$ merupakan ideal $\mathbb{Z}[x]$ adalah $\dots$

Diberikan dua buah grup $U\le G$, di mana $G:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1/a\end{array}\right)|a>0,b\in \mathbb{R}\right\}$ dan $U:=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)|x\in \mathbb{R}\right\}$ dengan operasi perkalian matriks.

(a) Tunjukkan bahwa $U$ merupakan subgrup normal dari $G$.

(b) Tunjukkan bahwa $G/U$ isomorf dengan $(\mathbb{R},+)$.

Periksa apakah ${\mathbb{Z}}_{13}[x]/⟨x^{2014}-x^{1000}+1⟩$ merupakan lapangan.