Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Diketahui polinomial $p(z)$ dan $q(z)$ sehingga berlaku $p(z)\cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2$ untuk setiap $z\in\mathbb{C}$. Hitunglah $p(1)$ dan $q(1)$.

Berikan sebuah contoh fungsi analitik tak konstan $f(z)$ di suatu himpunan buka $D\subseteq\mathbb{C}$ sehingga titik limit dari himpunan pembuat nol fungsi $f$ berada di luar $D$.

Misalkan $f(z)$ fungsi yang analitik di $|z| < R$ dengan $R > 1$. Hitunglah $\int_0^{2\pi} f(e^{it}) \cos^2\left(\frac{1}{2}t\right)\,\mathrm{d}t$ dinyatakan dalam $f(0), f'(0),\dots$

Misalkan $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2z^2 +\dots$ dan $g(z) = b_{-2} z^{-2} + b_{-1}z^{-1} +b_0+ b_1z + b_2z^2 + \dots.$ Apabila deret $\sum_{n = 0}^\infty a_n z^n$ dan $\sum_{n = -2}^\infty b_n z^n$ konvergen di $|z| < 2$, hitunglah $\int_{|z| = 1} f(z) g(z)\,\mathrm{d}z.$

Carilah deret Laurent dari fungsi $f(z) = \frac{1}{(z - 1)(z - 2)}$ yang berlaku di:

(a) $|z| < 1,$

(b) $1 < |z| < 2,$

(c) $|z| > 2.$

Misalkan $u$ fungsi harmonik pada daerah terhubung $\Omega$ di bidang kompleks $\mathbb{C}$.

(a) Buktikan bahwa $f = u_x - iu_y$ merupakan fungsi holomorfik (analitik).

(b) Misalkan $u = \text{Re}(g)$ bagian real dari fungsi holomorfik (analitik) $g$. Buktikan bahwa $g' = f$.