Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Struktur Aljabar

Misalkan $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 6 & 9 & 5 & 7 & 10 & 1 & 3 & 2 & 8 & 4 \end{pmatrix} \in S_{10}.$ Orde dari $\sigma$ adalah $\dots$

Nilai maksimum dari $|G|$ di antara semua subgrup $G$ dari $\mathbb{Z}_{2014}$ dengan $G\neq\mathbb{Z}_{2014}$ adalah $\dots$

Banyak unit gelanggang (ring) $\mathbb{Z}_{13}$ adalah $\dots$

Semua bilangan bulat $s$ sehingga $I_s :=\{f\in\mathbb{Z}[x] \mid f(2014) = s\}$ merupakan ideal $\mathbb{Z}[x]$ adalah $\dots$

Diberikan dua buah grup $U \le G$, di mana $G := \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 1/a\end{pmatrix} \;\middle|\; a > 0, b \in\mathbb{R}\right\}$ dan $U := \left\{\begin{pmatrix}1 & x\\ 0 & 1\end{pmatrix} \;\middle|\; x \in\mathbb{R}\right\}$ dengan operasi perkalian matriks.

(a) Tunjukkan bahwa $U$ merupakan subgrup normal dari $G$.

(b) Tunjukkan bahwa $G/U$ isomorf dengan $(\mathbb{R}, +)$.

Periksa apakah $\mathbb{Z}_{13}[x]/\langle x^{2014} - x^{1000} + 1\rangle$ merupakan lapangan.