Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Diketahui barisan $(x_n)_{n\ge 0}$, dengan $x_0 = 0$ dan $\displaystyle x_{n + 1} = \frac{3}{2}x_n - \frac{1}{2}x_{n - 1}, n\ge 1$. Dinyatakan dalam $x_0$ dan $x_1$, nilai $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = \dots$

Diketahui $f:[a,b] \to\mathbb{R}$ merupakan fungsi naik. Fungsi $f$ kontinu di $a$ jika dan hanya jika $f(a) = \dots$

Diketahui fungsi $f,g :[0,1]\to\mathbb{R}$ kontinu. Jika $g(x) > 0$, untuk setiap $x\in[0,1]$, maka $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\int_0^1 x^nf(x)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 x^ng(x)\,\mathrm{d}x} = \dots$

Jika $s > 0, t > 0$, nilai-nilai $s$ dan $t$ agar deret $\displaystyle \sum \frac{(s + n)(s + n - 1)\dots(s + 1)}{(t+n)(t + n - 1)\dots(t + 1)}$ konvergen adalah $\dots$

Diketahui $\alpha$ merupakan bilangan irasional dan $\mathbb{Z}$ menyatakan himpunan semua bilangan bulat. Jika $A = \{m + n\alpha : m,n\in\mathbb{Z}\}$, maka klosur dari $A$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ fungsi kontinu dengan $\displaystyle f\left(r + \frac{1}{n}\right) = f(r)$ untuk setiap bilangan asli $n$, maka $f(x) = \dots,$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$.

Misalkan $f$ dan $g$ terdefinisi pada interval $I\subseteq \mathbb{R}, f''$ dan $g''$ ada dan kontinu pada $I$. Jika $f(c) = g(c) = 0$ dan $g''(c)\neq 0$ untuk suatu $c\in I$, syarat agar $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f''(c)}{g''(c)}$ adalah $\dots$

Misalkan barisan fungsi $(f_n)$ konvergen ke fungsi $f$ pada selang $[a,b]$. Jika $f_n'$ kontinu untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ pada $[a,b]$ dan barisan $(f_n')$ konvergen seragam ke fungsi $g$ pada $[a,b]$, maka nilai $\displaystyle \int_a^x g(t)\,\mathrm{d}t = \dots$

Diketahui barisan $(a_n)$. Didefinisikan barisan $(b_n)$ sebagai berikut: $b_n = \frac{a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + (-1)^{n + 1}a_n}{n}.$

(a) Buktikan bahwa: Jika $a_n\to 0$, maka $b_n\to 0$.

(b) Jika $a_n\to L$, dengan $L\neq 0$, selidiki kekonvergenan $(b_n)$.

Jika fungsi $f :[0,1]\to[0,1]$ memenuhi $|f(x)- f(y)| \le |x - y|$ untuk setiap $x,y\in[0,1]$. Buktikan bahwa $F = \{x\in[0,1] : f(x) = x\}$ merupakan singleton atau interval.

Diketahui fungsi $f :[0,a]\to[0,\infty)$ kontinu dengan $f(0)$ dan $f$ mempunyai derivatif kanan dengan nilai derivatif kanan $f$ di $0$ adalah $0$. Jika $f(t) \le \int_0^t \frac{f(s)}{s}\mathrm{d}s,$ untuk setiap $t\in[0,a]$. Buktikan bahwa $f$ merupakan fungsi nol pada $[0,a]$.