Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Aljabar Linear

Matriks eselon baris tereduksi untuk $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$ adalah $\dots$

Misalkan $W$ ruang vektor atas lapangan kompleks $\mathbb{C}$. Dengan demikian, $V$ juga ruang vektor atas lapangan real $\mathbb{R}$. Jika $\dim_{\mathbb{R}}(W) = 2014$ maka $\dim_{\mathbb{C}}(W) = \dots$

Misalkan $\mathbf{I}_n$ adalah matriks identitas di $\mathbb{R}^{n\times n}$ dan $a,b,c,d$ adalah bilangan-bilangan real tak nol. Jika $\mathbf{A} = \begin{bmatrix}a\mathbf{I}_n & b\mathbf{I}_n \\ c\mathbf{I}_n & d\mathbf{I}_n\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2n\times 2n}$, maka $\det(A) = \dots$

Misalkan $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ adalah transformasi pencerminan terhadap garis $y = \dfrac{1}{\sqrt3}x.$ Untuk sebarang bilangan real $a$, $T(a, 2014) = \dots$

Jika matriks $\begin{bmatrix}3 & 2 - a \\ a & 3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2}$ memiliki dua vektor eigen yang saling ortogonal, maka $a = \dots$

Bilangan $-1$ adalah nilai eigen matriks $\mathbf{A} =\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1& -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4}$. Dimensi ruang eigen $\mathbf{A}$ untuk nilai eigen $-1$ adalah $\dots$

Di ruang vektor $P_2$ kita definisikan hasil kali dalam $\langle p,q \rangle = p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + p(1)q(1),$ untuk setiap $p,q\in P_2$. Salah satu unsur $P_2$ yang normanya 1 dan ortogonal terhadap kedua polinom $u(x) = x^2 - 1$ dan $v(x) = x$ adalah $\dots$

Transformasi linear $T : P_2 \to P_2$ didefinisikan sebagai $T(p)(x) = p(1- x) - p(1 + x),$ untuk setiap $p\in P_2$. Himpunan $\{ax^2 + bx + c, bx^2 + cx + a\}$ merupakan basis $\text{Ker}(T)$ jika $(a,b,c) = \dots$

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam kompleks berdimensi hingga. Misalkan $\mathbf{u}, \mathbf{w}\in V$ memenuhi $\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle \neq 0.$ Jika $K = \text{span}\{\mathbf{u}\}$ dan $L = \text{span}\{\mathbf{w}\},$ buktikan bahwa $V = K^{\perp}\oplus L.$

Diberikan vektor-vektor tak nol $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$. Buktikan bahwa matriks $\mathbf{A} = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ dapat didiagonalkan jika dan hanya jika $\mathbf{u}^T\mathbf{v} = 0$.

Misalkan $\mathbf{B}_k = \begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\ 2 & 2 & \cdots & 2\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times k}$. Didefinisikan $\mathbf{A}_1 =[1], \mathbf{A}_2 = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$ dan untuk $n\ge 3$, $\mathbf{A}_n = \begin{bmatrix}\mathbf{A}_2 & \mathbf{B}_{n - 2}\\ \mathbf{B}^T_{n - 2} & \mathbf{A}_{n - 2}\end{bmatrix}$. Buktikan bahwa $\mathbf{A}_n$ tak singular untuk setiap bilangan asli $n$.