Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Struktur Aljabar

Misalkan $G,H,$ dan $K$ grup hingga. Misalkan pula homomorfisma $\varphi :G\to H$ dan homomorfisma $\psi :H\to K$ memenuhi $\text{Im}(\varphi )=\ker (\psi )$. Jika $\psi$ homomorfisma surjektif dan $|K|=|H|=n$, maka $|\text{Im}(\varphi )|=\dots$

Banyaknya polinom tak tereduksi di ${\mathbb{Z}}_2[x]$ yang berderajat 3 adalah $\dots$

Banyaknya pembagi nol di ${\mathbb{Z}}_{100}$ adalah $\dots$

Misalkan $R$ adalah ring dengan identitas perkalian dan $x\in R$ memenuhi $x^2=x$. Maka balikan (invers) dari $2x-1$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup yang memiliki subgrup berorde 2015. Buktikan bahwa irisan semua subgrup dari $G$ yang berorde 2015 merupakan subgrup normal dari $G$.

(a) Jika $I$ ideal di $M_2(\mathbb{R})$ yang memuat $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, untuk suatu $a\ne 0,$ buktikan bahwa $I=M_2(\mathbb{R})$.

(b) Tentukan semua ideal di ring $M_2(\mathbb{R})$.