Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Aljabar Linear

Misalkan $A,B,C$ berturut-turut matriks berukuran $m\times m, n\times n,$ dan $n\times m$. Jika $\det(A) = 2$ dan $\det(B) = 3$, maka $\det\begin{bmatrix}0 & A \\ B & C\end{bmatrix} = \dots$

Diketahui bahwa $a\neq 0$. Agar himpunan $\{a + bx, ax + bx^2, b + ax^3\}$ bergantung linear di ruang vektor $P_4$, $a$ dan $b$ haruslah memenuhi hubungan $\dots$

Di $\mathbb{R}^3$, subruang $K$ dibangun oleh $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}\right\}$ dan subruang $L$ dibangun oleh $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$. Maka $K\cap L = \dots$

Misalkan $A = \begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}.$ Pemetaan linear $T$ memenuhi $T(X) = AX - XA,$ untuk setiap $X\in\mathbb{R}^{2\times 2}$. Maka dimensi $\text{Ker}(T)$ adalah $\dots$

Diketahui bahwa $u = \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}$ adalah vektor eigen matriks $\begin{bmatrix}a - 1 & a \\ 2 & 1\end{bmatrix}$, maka nilai eigen untuk $u$ adalah $\dots$

Banyaknya matriks real diagonal berukuran $n\times n$ yang ortogonal adalah $\dots$

Diketahui matriks-matriks $A = \begin{bmatrix}1 & a \\ -1 & 1\\ b & 1\end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix}c & -1 & 0\\ 0& 1 & 1\end{bmatrix}$. Agar matriks $AB$ dapat didiagonalisasi ortogonal, haruslah $(a,b,c) = \dots$

Di ruang vektor $P_2$ kita definisikan hasil kali dalam $\displaystyle \langle p,q\rangle =\int_0^1 p(t)q(t)\,\mathrm{d}t,$ untuk setiap $p,q\in P_2$. Jika $K$ dibangun oleh $\{1,x\}$ maka $K^{\perp} = \dots$

Misalkan $a_1,a_2,b_1,b_2$ empat vektor di $\mathbb{R}^3$ yang memenuhi $\|a_1\|_2 = \|b_1\|_2 = 1$. Misalkan $A = [a_1~a_2]$ dan $B = [b_1~b_2]$ memenuhi $A^T B = I_2$, matriks identitas $2\times 2$.

(a) Tunjukkan bahwa keempat vektor tersebut dapat dipilih sehingga $B^T A = \text{diag}(1,1,0).$

(b) Dapatkah keempat vektor tersebut dipilih sehingga $B^T A$ bukan matriks diagonal? Berikan alasannya.

Misalkan $U,V,W$ ruang-ruang vektor atas lapangan $F$, $\dim(V) = m$, dan $\dim(U) = n$. Misalkan pula $T : V\to W$ linear dan satu-satu, sedangkan $S : W\to U$ linear dan pada. Jika $\text{Im}(T) = \text{Ker}(S),$ tentukan $\dim(W)$.

Misalkan $A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ memenuhi $A^2 = I$.

(a) Tunjukkan bahwa $1$ dan $-1$ adalah semua nilai eigen $A$.

(b) Jika $E(1)$ dan $E(-1)$ adalah ruang-ruang eigen $A$, buktikan bahwa $\mathbb{R}^n = E(1) \oplus E(-1)$.