Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Diketahui $S = \{\sqrt[3]n - \sqrt[3] m\mid m,n\in\mathbb{N}\},$ maka $\sup S = \dots$

Bentuk umum fungsi naik tegas $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ yang memenuhi $f(f(x) + y) = f(x + y) + f(0),\forall x,y\in\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real nonnegatif yang naik monoton $(x_k)$, yang mempunyai sifat $x_{nk}\ge nx_k$ dan $\displaystyle\sup\frac{x_k}{k} = x < \infty$. Barisan $\left(\dfrac{x_k}{k}\right)$ konvergen ke $\dots$

Fungsi $f :(0,1)\to\mathbb{R}$, dengan $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = 0$ dan $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} = 0.$ Nilai $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = \dots$

Diberikan fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dengan $f(x) = 4x^2 + 1$, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ dan barisan $(x_n)$ dengan $\displaystyle x_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2 + 5k + 6},$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$. Nilai $\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \dots$

Fungsi $f :(a,b)\to\mathbb{R}$ dikatakan terdiferensial seragam pada $(a,b)$, jika $f$ terdiferensial di setiap titik $x\in(a,b)$ dan memenuhi sifat $\forall\varepsilon>0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\forall x,y\in(a,b)$ dengan $|x - y| < \delta,$ maka $\left|\frac{f(x) - f(y)}{x - y} - f'(x)\right| < \varepsilon.$ Contoh fungsi terdiferensial tetapi tidak terdiferensial seragam adalah $\dots$

Untuk setiap $\displaystyle n\in\mathbb{N},f_n(x) = \sum_{k = 1}^n (-1)^n x^n,$ untuk setiap $-1 < x < 1$. Jika fungsi $f :(-1,1)\to\mathbb{R}$ dengan $\displaystyle f = \lim_{n\to \infty} f_n,$ pada $(-1,1)$, maka nilai $\displaystyle \int_0^{1/2} f(x)\,\mathrm{d}x = \dots$

Jika fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ kontinu dan $A = \{x\in\mathbb{R} : f^2(x)\le 1\},$ maka klosur dari $A$, yaitu $\overline{A} = \dots$

Diketahui barisan $(x_n)$ dengan $x_n \ge 1$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$. Didefinisikan barisan $(y_n)$ dengan $\displaystyle y_n = x_n + \frac{2}{x_n}$ untuk setiap $n$. Jika $(y_n)$ konvergen buktikan bahwa $(x_n)$ konvergen.

Misalkan $f$ fungsi bernilai real terdiferensialkan pada $[a,b]$ dengan $f'(x)\neq 0, \forall x\in(a,b)$ dan $f(a) = f(b) = 0$. Tunjukkan terdapat $x_0 \in (a,b)$ sedemikian sehingga $|f'(x_0)| > \frac{1}{(b - a)^2}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Diketahui fungsi $\varphi$ konveks pada $\mathbb{R}$ dan $f$ terintegral pada $[0,1]$. Buktikan bahwa $\int_0^1 \varphi(f(t))\,\mathrm{d}t \ge \varphi\left(\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\right).$