Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Kompleks

Hitung Bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks $\frac{3i^{30} - i^{19}}{2i - 1}.$

Hitung nilai $\lim_{z\to 0}\left(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{\sin^2 z}\right).$

Hitung nilai $\oint_C \frac{e^z}{(z + \pi i)^3}\mathrm{d}z.$

Jika $f$ adalah fungsi entire, $f(0) = 1$ dan berlaku $|f(z) - e^z \sin 2z| < 4$ untuk setiap $z\in\mathbb{C},$ maka tentukan nilai dari $f(1).$

Kerjakan dua soal berikut:

(a) Tentukan nilai dari $\min_{z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}} \frac{\text{Im}(z^5)}{(\text{Im}(z))^5}.$

(b) Tentukan nilai $k$ sehingga peta dari lingkaran $|z - 1| = k$ oleh fungsi kompleks $f(z) = \frac{z - 3}{1 - 2z}$ adalah sebuah garis lurus.

Hitunglah $\int_0^{2\pi} e^{e^{2it} - 3it}\mathrm{d}t.$