Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Struktur Aljabar

Misalkan $G, H,$ dan $K$ grup hingga. Misalkan pula homomorfisma $\phi : G \to H$ dan homomorfisma $\psi : H\to K$ memenuhi $\text{Im}(\phi) = \ker(\psi)$. Jika $\psi$ homomorfisma surjektif dan $|K| = |H| = n$, maka $|\text{Im}(\phi)| = \dots$

Banyaknya polinom tak tereduksi di $\mathbb{Z}_2[x]$ yang berderajat 3 adalah $\dots$

Banyaknya pembagi nol di $\mathbb{Z}_{100}$ adalah $\dots$

Misalkan $R$ adalah ring dengan identitas perkalian dan $x\in R$ memenuhi $x^2 = x$. Maka balikan (invers) dari $2x - 1$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup yang memiliki subgrup berorde 2015. Buktikan bahwa irisan semua subgrup dari $G$ yang berorde 2015 merupakan subgrup normal dari $G$.

(a) Jika $I$ ideal di $M_2(\mathbb{R})$ yang memuat $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, untuk suatu $a\neq 0,$ buktikan bahwa $I = M_2(\mathbb{R})$.

(b) Tentukan semua ideal di ring $M_2(\mathbb{R})$.