Lema Gauss dan Polinomial Siklotomik

1. Lema Gauss

Definisi (Konten Polinomial & Polinomial Primitif)

Teorema (Lema Gauss)

Misalkan $f (x) \in Z [x]$ . Jika $f (x)$ redusibel di $Q [x]$ , maka $f (x)$ juga redusibel di $Z [x]$ .

Khususnya untuk polinomial primitif, $f (x)$ irredusibel di $Q [x]$ jika dan hanya jika ia irredusibel di $Z [x]$ .

Definisi (Polinomial Siklotomik Phi_n(x))

Polinomial siklotomik ke- $n$ , dinotasikan $Φ_{n} (x)$ , didefinisikan sebagai:

$Φ_{n} (x) = \prod_{fpb (k, n) = 1, 1 \leq k < n} (x - e^{2 π ik / n})$

Teorema (Sifat Polinomial Siklotomik)

$Φ_{n} (x) \in Z [x]$ dan irredusibel atas $Q$ untuk setiap $n \geq 1$ .
Untuk $p$ prima: $Φ_{p} (x) = \frac{x ^{p} - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \dots + x + 1$ .

Contoh (Irredusibilitas Phi_5(x))

Buktikan bahwa $Φ_{5} (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ irredusibel atas $Q$ .

✏️ Latihan Soal 1 (Perhitungan Phi_6(x))

Tentukan bentuk eksplisit dari $Φ_{6} (x)$ dan tunjukkan bahwa ia membagi $x^{6} - 1$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan identitas $x^{6} - 1 = \prod_{d ∣ 6} Φ_{d} (x) = Φ_{1} (x) Φ_{2} (x) Φ_{3} (x) Φ_{6} (x)$ .

$Φ_{1} (x) = x - 1$
$Φ_{2} (x) = x + 1$
$Φ_{3} (x) = x^{2} + x + 1$ Maka $Φ_{1} (x) Φ_{2} (x) Φ_{3} (x) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{4} + x^{3} - x - 1$ . Maka $Φ_{6} (x) = \frac{x ^{6} - 1}{x ^{4} + x ^{3} - x - 1} = x^{2} - x + 1$ . Terbukti membagi $x^{6} - 1$ . $■$