Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 2 tentang koset, Teorema Lagrange, dan aplikasi teori grup hingga.
Halaman ini berisi kumpulan latihan soal Bab 2 untuk memperdalam pemahaman mengenai koset, indeks subgrup, dan Teorema Lagrange.
Latihan Soal Bab 2
Diberikan grup dan subgrup .
- Tentukan semua koset kiri dari dalam .
- Tentukan indeks subgrup .
💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi Sembunyikan Pembahasan ▾
Pembahasan:
- Koset-koset kiri:
- Indeks .
Misalkan adalah grup berorde 30. Tunjukkan bahwa tidak mungkin memiliki subgrup berorde 7.
💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi Sembunyikan Pembahasan ▾
Pembahasan: Berdasarkan Teorema Lagrange, jika , maka harus membagi . Karena 7 tidak membagi 30 (), maka tidak memiliki subgrup berorde 7.
Misalkan dan adalah subgrup dari grup hingga . Jika dan , buktikan bahwa .
💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi Sembunyikan Pembahasan ▾
Pembahasan: Gunakan formula kardinalitas himpunan perkalian : . Karena , maka . Sehingga:
Menghasilkan . Maka .
Navigasi Sub-Topik
- ← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup
- Sub-Topik Selanjutnya: Subgrup Normal →
Materi Terkait (Linked References) (6)
Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi
Definisi T(cu+v) = cT(u)+T(v), sifat T(0)=0, serta konstruksi matriks representasi [T]_beta^gamma.
Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi
Kombinasi linear, span, kebebaslinearan (linearly independent), definisi basis, serta Teorema Dimensi dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U n W).
Fungsi Eksponensial, Logaritma Kompleks, dan Trigonometri
Sifat fungsi $e^z$, logaritma utama $\text{Log } z = \ln|z| + i \text{Arg } z$, fungsi trigonometri $\sin z, \cos z$, dan hiperbolik.
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Definisi formal limit $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$, ketergantungan arah jalur pendekatan, dan syarat kontinuitas fungsi.
Subgrup Normal
Definisi subgrup normal $N \triangleleft G$, kriteria $gNg^{-1} \le N$, kesamaan koset kiri dan kanan, serta Pusat Grup $Z(G)$.
Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup
Teorema Lagrange |G| = [G:H]|H|, indeks subgrup, orde unsur membagi orde grup, dan Teorema Kecil Fermat.
Diskusi & Tanya Jawab
Punya pertanyaan atau diskusi terkait materi ini? Tuliskan komentar Anda di bawah.
Komentar ini mendukung penulisan notasi matematika LaTeX dan format Markdown. Seluruh pesan dimuat secara terisolasi di dalam iframe aman sehingga tidak akan merusak layout halaman website:
- Inline Math: Gunakan
$...$(contoh:$a \in G$). - Display Math: Berikan baris baru (enter) di sebelum & sesudah
$$atau gunakan blok kode```math(contoh:$$\n\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\n$$).