Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi

Untuk menentukan cara paling efisien dalam merentang suatu ruang vektor, kita memerlukan konsep kebebaslinearan dan basis.

1. Kombinasi Linear, Span, dan Kebebaslinearan

Definisi (Span (Rentangan))

Himpunan semua kombinasi linear dari $S = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ disebut rentangan (span) dari $S$ , dinotasikan $span (S) = {c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} : c_{i} \in F}$ .

Definisi (Kebebaslinearan Linear)

Himpunan ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ dikatakan bebas linear (linearly independent) jika persamaan:

$c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{n} v_{n} = 0$

hanya memiliki solusi trivial $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{n} = 0$ .

2. Basis dan Dimensi

Definisi (Basis dan Dimensi)

Himpunan $β \subseteq V$ disebut basis bagi $V$ jika:

$β$ bebas linear.
$span (β) = V$ .

Banyaknya elemen dalam basis $β$ disebut dimensi dari $V$ ( $dim (V)$ ).

Teorema (Teorema Dimensi Subruang)

Untuk dua subruang $U$ dan $W$ dari $V$ yang berdimensi hingga:

$dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U \cap W)$

Secara khusus, jika $V = U \oplus W$ , maka $dim (V) = dim (U) + dim (W)$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Basis Standar P_2(R))

Tunjukkan bahwa $β = {1, x, x^{2}}$ adalah basis bagi $P_{2} (R)$ dan hitung dimensinya.

Latihan Soal Section 2.3

✏️ Latihan Soal 1 (Uji Bebas Linear Vektor di R^3)

Tentukan apakah ${(1, 2, 1), (2, 1, 0), (1, - 1, 2)}$ bebas linear di $R^{3}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Hitung determinan matriks dengan kolom-kolom vektor tersebut:

$121210 1 - 1 2 = 1 (2 - 0) - 2 (4 - (- 1)) + 1 (0 - 1) = 2 - 10 - 1 = - 9 \neq = 0$

Karena determinannya tidak nol, ketiga vektor tersebut bebas linear. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Basis Penjumlahan Vektor {v1+v2, v2+v3, v3+v1})

Misalkan ${v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ adalah basis bagi $V$ . Apakah ${v_{1} + v_{2}, v_{2} + v_{3}, v_{3} + v_{1}}$ juga basis bagi $V$ ?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Uji bebas linear: $c_{1} (v_{1} + v_{2}) + c_{2} (v_{2} + v_{3}) + c_{3} (v_{3} + v_{1}) = 0$ . $(c_{1} + c_{3}) v_{1} + (c_{1} + c_{2}) v_{2} + (c_{2} + c_{3}) v_{3} = 0$ . Karena ${v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ bebas linear:

$⎩ ⎨ ⎧ c_{1} + c_{3} = 0 c_{1} + c_{2} = 0 c_{2} + c_{3} = 0 ⟹ c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$

Karena terdiri dari 3 vektor bebas linear pada ruang berdimensi 3, himpunan tersebut juga basis bagi $V$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Basis dan Dimensi Subruang x+y+z+w = 0 di R^4)

Diberikan subruang $U = {(x, y, z, w) \in R^{4} : x + y + z + w = 0}$ . Tentukan basis dan dimensinya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Tulis $w = - x - y - z$ . $(x, y, z, - x - y - z) = x (1, 0, 0, - 1) + y (0, 1, 0, - 1) + z (0, 0, 1, - 1)$ . Basis bagi $U$ : ${(1, 0, 0, - 1), (0, 1, 0, - 1), (0, 0, 1, - 1)}$ . Dimensi $dim (U) = 3$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Jumlah Vektor n+1 di Ruang Berdimensi n)

Misalkan $V$ berdimensi $n$ . Buktikan bahwa setiap himpunan yang terdiri dari $n + 1$ vektor atau lebih di $V$ pasti bergantung linear.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ukuran basis maksimum bebas linear di ruang berdimensi $n$ adalah $n$ . Setiap himpunan dengan elemen lebih dari $n$ pasti bergantung linear (mengikuti Steinitz Exchange Lemma). $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Subruang dan Hasil Tambah Langsung
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 2 →

Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi

1. Kombinasi Linear, Span, dan Kebebaslinearan

2. Basis dan Dimensi

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 2.3

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Soal Latihan Pengayaan Bab 2: Ruang Vektor

Subruang dan Hasil Tambah Langsung

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title