Subruang dan Hasil Tambah Langsung

Sering kali kita tidak perlu bekerja dengan seluruh ruang vektor $V$ , melainkan cukup pada himpunan bagian yang masih mempertahankan struktur ruang vektor tersebut.

1. Kriteria Subruang

Definisi (Subruang Vektor)

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas $F$ . Himpunan bagian tak kosong $W \subseteq V$ disebut subruang dari $V$ jika $W$ memenuhi 3 syarat:

$0 \in W$ .
Tertutup Penjumlahan: $u, v \in W ⟹ u + v \in W$ .
Tertutup Perkalian Skalar: $c \in F, v \in W ⟹ c v \in W$ .

2. Hasil Tambah Langsung (Direct Sum)

Definisi (Hasil Tambah Langsung U (+) W)

Ruang vektor $V$ dikatakan sebagai hasil tambah langsung dari subruang $U$ dan $W$ , ditulis $V = U \oplus W$ , jika:

$V = U + W = {u + w : u \in U, w \in W}$ .
$U \cap W = {0}$ .

Sifat utama: Setiap $v \in V$ dapat dituliskan secara tunggal sebagai $v = u + w$ dengan $u \in U$ dan $w \in W$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Dekomposisi Matriks Simetris dan Anti-Simetris)

Misalkan $V = M_{n \times n} (R)$ . Misalkan $U$ adalah himpunan matriks simetris ( $A^{T} = A$ ) dan $W$ adalah matriks anti-simetris ( $A^{T} = - A$ ). Tunjukkan $V = U \oplus W$ .

Latihan Soal Section 2.2

✏️ Latihan Soal 1 (Subruang Himpunan Vektor x + y + z = 0)

Misalkan $V = R^{3}$ . Periksalah apakah $W = {(x, y, z) \in R^{3} : x + y + z = 0}$ merupakan subruang dari $V$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

$(0, 0, 0) \in W$ karena $0 + 0 + 0 = 0$ .
Ambil $u = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), v = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \in W ⟹ (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) + (z_{1} + z_{2}) = (x_{1} + y_{1} + z_{1}) + (x_{2} + y_{2} + z_{2}) = 0 + 0 = 0$ . (Tertutup penjumlahan).
Ambil $c \in R ⟹ c x_{1} + c y_{1} + c z_{1} = c (x_{1} + y_{1} + z_{1}) = 0$ . (Tertutup skalar). Maka $W$ adalah subruang dari $R^{3}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Irisan dan Gabungan Subruang)

Misalkan $U, W \leq V$ . Buktikan bahwa $U \cap W \leq V$ , namun $U \cup W$ belum tentu subruang.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Irisan: $0 \in U \cap W$ . Jika $x, y \in U \cap W ⟹ x + y \in U$ dan $x + y \in W ⟹ x + y \in U \cap W$ . Begitu pula skalar. Maka $U \cap W \leq V$ .
Gabungan: Pilih $U$ sumbu-x dan $W$ sumbu-y di $R^{2}$ . $(1, 0) \in U, (0, 1) \in W ⟹ (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \in / U \cup W$ . Maka $U \cup W$ bukan subruang. $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Dekomposisi P2(R) = U (+) W)

Diberikan $V = P_{2} (R)$ . Misalkan $U = {p (x) : p (0) = 0}$ dan $W = {p (x) : p^{'} (x) = 0}$ . Apakah $V = U \oplus W$ ?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

$U = {a_{1} x + a_{2} x^{2} : a_{1}, a_{2} \in R}$ ( $dim = 2$ ).
$W = {a_{0} : a_{0} \in R}$ (polinomial konstanta, $dim = 1$ ).
Setiap $p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} = (a_{1} x + a_{2} x^{2}) + a_{0} \in U + W$ .
Irisan: Jika $p (x) \in U \cap W ⟹ p (x) = a_{0}$ dan $p (0) = 0 ⟹ a_{0} = 0 ⟹ p (x) = 0$ . Maka $V = U \oplus W$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Ketunggalan Representasi Hasil Tambah Langsung)

Buktikan bahwa jika $V = U \oplus W$ , maka representasi $v = u + w$ bersifat tunggal.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Andaikan $v = u_{1} + w_{1} = u_{2} + w_{2}$ dengan $u_{1}, u_{2} \in U$ dan $w_{1}, w_{2} \in W$ . Maka $u_{1} - u_{2} = w_{2} - w_{1}$ . Karena $u_{1} - u_{2} \in U$ dan $w_{2} - w_{1} \in W$ , maka $u_{1} - u_{2} \in U \cap W$ . Karena $U \cap W = {0}$ , maka $u_{1} - u_{2} = 0 ⟹ u_{1} = u_{2}$ dan $w_{1} = w_{2}$ . Terbukti tunggal. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Ruang Vektor Real dan Kompleks
Sub-Topik Selanjutnya: Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi →

1. Kriteria Subruang

2. Hasil Tambah Langsung (Direct Sum)

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 2.2

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (2 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi

Ruang Vektor Real dan Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title