Subgrup Normal

Tidak semua subgrup memiliki sifat yang memungkinkan himpunan koset-kosetnya membentuk grup baru. Kita memerlukan kondisi khusus di mana koset kiri selalu sama dengan koset kanan, yang dikenal sebagai subgrup normal.

1. Definisi dan Kriteria Subgrup Normal

Definisi (Subgrup Normal)

Suatu subgrup $N$ dari grup $G$ dikatakan subgrup normal (ditulis $N ⊴ G$ ) jika untuk setiap $g \in G$ dan $n \in N$ , berlaku $g n g^{- 1} \in N$ .

Teorema (Kriteria Subgrup Normal)

Misalkan $N \leq G$ . Pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:

$N ⊴ G$ .
$g N g^{- 1} \subseteq N$ untuk setiap $g \in G$ .
$g N = N g$ untuk setiap $g \in G$ (Koset kiri sama dengan koset kanan).

2. Pusat Grup (Center of a Group)

Definisi (Pusat Grup Z(G))

Pusat dari grup $G$ , dilambangkan $Z (G)$ , adalah himpunan elemen yang komutatif terhadap semua elemen di $G$ :

$Z (G) = {z \in G : z g = g z, \forall g \in G}$

Teorema (Z(G) Selalu Subgrup Normal)

Untuk setiap grup $G$ , $Z (G) ⊴ G$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Subgrup dalam Grup Abelian)

Buktikan bahwa setiap subgrup dari grup Abelian adalah subgrup normal.

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Irisan Dua Subgrup Normal)

Buktikan bahwa jika $N ⊴ G$ dan $M ⊴ G$ , maka $N \cap M ⊴ G$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

$N \cap M \leq G$ (irisan subgrup adalah subgrup).
Ambil $g \in G$ dan $x \in N \cap M$ .
Karena $x \in N ⟹ g x g^{- 1} \in N$ (karena $N ⊴ G$ ).
Karena $x \in M ⟹ g x g^{- 1} \in M$ (karena $M ⊴ G$ ).
Maka $g x g^{- 1} \in N \cap M$ . Terbukti $N \cap M ⊴ G$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange
Sub-Topik Selanjutnya: Grup Kuosien →

1. Definisi dan Kriteria Subgrup Normal

2. Pusat Grup (Center of a Group)

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Grup Kuosien

Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange

Diskusi & Tanya Jawab

Title