Grup Kuosien

Jika $N ⊴ G$ , himpunan semua koset kiri dari $N$ dalam $G$ dapat dikonstruksi menjadi sebuah grup baru yang dinamakan Grup Kuosien.

1. Definisi Grup Kuosien

Teorema (Konstruksi Grup Kuosien)

Misalkan $N ⊴ G$ . Himpunan koset-koset kiri $G / N = {g N : g \in G}$ membentuk grup terhadap operasi perkalian koset:

$(a N) (b N) = (ab) N$

Bukti (Operasi Terdefinisi dengan Baik (Well-defined))

Misalkan $a N = a^{'} N$ dan $b N = b^{'} N ⟹ a^{'} = a n_{1}, b^{'} = b n_{2}$ dengan $n_{1}, n_{2} \in N$ . Perkalian perwakilan: $a^{'} b^{'} = a n_{1} b n_{2}$ . Karena $N ⊴ G ⟹ n_{1} b = b n_{3}$ untuk suatu $n_{3} \in N$ . Maka $a^{'} b^{'} = a (b n_{3}) n_{2} = (ab) (n_{3} n_{2}) \in (ab) N$ . Operasi terdefinisi secara konsisten. Identitasnya adalah $e N = N$ , dan $(a N)^{- 1} = a^{- 1} N$ . $■$

■

2. Sifat Keterwarisan

Teorema (Sifat Grup Kuosien)

Jika $G$ Abelian, maka $G / N$ juga Abelian.
Jika $G$ siklik, maka $G / N$ juga siklik.
Jika $G / Z (G)$ siklik, maka $G$ haruslah Abelian.

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Tabel Cayley Z_12 / <4>)

Diberikan $G = Z_{12}$ dan $N = ⟨ 4 ⟩ = {0, 4, 8}$ . Tentukan elemen-elemen dari grup kuosien $G / N$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (G/Z(G) Siklik Mengimplikasikan G Abelian)

Buktikan bahwa jika $G / Z (G)$ adalah grup siklik, maka $G$ haruslah grup Abelian.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $G / Z (G) = ⟨ g Z (G)⟩$ . Setiap $x \in G$ dapat ditulis $x = g^{m} z_{1}$ untuk suatu $m \in Z$ dan $z_{1} \in Z (G)$ . Ambil $x, y \in G ⟹ x = g^{m} z_{1}, y = g^{n} z_{2}$ . Perkalian: $x y = (g^{m} z_{1}) (g^{n} z_{2}) = g^{m + n} z_{1} z_{2} = (g^{n} z_{2}) (g^{m} z_{1}) = y x$ (karena $z_{1}, z_{2} \in Z (G)$ komutatif terhadap semua elemen). Maka $G$ Abelian. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Subgrup Normal
Sub-Topik Selanjutnya: Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien →

1. Definisi Grup Kuosien

2. Sifat Keterwarisan

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien

Subgrup Normal

Diskusi & Tanya Jawab

Title