Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi

Transformasi linear adalah pemetaan antar ruang vektor yang mempertahankan struktur operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

1. Definisi Transformasi Linear

Definisi (Transformasi Linear)

Pemetaan $T : V \to W$ disebut transformasi linear jika untuk setiap $u, v \in V$ dan $c \in F$ :

$T (c u + v) = c T (u) + T (v)$

Proposisi (Sifat Dasar Transformasi Linear)

$T (0_{V}) = 0_{W}$ .
Transformasi linear ditentukan sepenuhnya oleh nilai-nilainya pada sebuah basis bagi $V$ : $T (\sum c_{i} v_{i}) = \sum c_{i} T (v_{i})$ .

2. Matriks Representasi

Misalkan $V$ memiliki basis $β = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ dan $W$ memiliki basis $γ = {w_{1}, \dots, w_{m}}$ .

Definisi (Matriks Representasi [T]_beta^gamma)

Matriks $A = [T]_{β}^{γ}$ berukuran $m \times n$ yang kolom ke- $j$ nya adalah koordinat $[T (v_{j})]_{γ}$ disebut matriks representasi dari $T$ :

$[T]_{β}^{γ} = ([T (v_{1})]_{γ} [T (v_{2})]_{γ} \dots [T (v_{n})]_{γ})$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Matriks Representasi Turunan D: P2 -> P1)

Tentukan matriks representasi dari operator turunan $D : P_{2} (R) \to P_{1} (R)$ ( $D (p) = p^{'}$ ) terhadap basis standar $β = {1, x, x^{2}}$ dan $γ = {1, x}$ .

Latihan Soal Section 3.1

✏️ Latihan Soal 1 (Uji Linearitas T(x, y) = (x+y, x^2))

Periksalah apakah $T (x, y) = (x + y, x^{2})$ merupakan transformasi linear.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Uji homogenitas perkalian skalar: $T (2 (1, 1)) = T (2, 2) = (4, 4)$ . Sisi lain $2 T (1, 1) = 2 (2, 1) = (4, 2)$ . Karena $(4, 4) \neq = (4, 2)$ , $T$ bukan transformasi linear. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Evaluasi T(5, -2) dari Nilai Basis)

Misalkan $T : R^{2} \to R^{2}$ memetakan $(1, 0) \to (2, 3)$ dan $(0, 1) \to (- 1, 4)$ . Tentukan $T (5, - 2)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Nyatakan $(5, - 2) = 5 (1, 0) - 2 (0, 1)$ . $T (5, - 2) = 5 T (1, 0) - 2 T (0, 1) = 5 (2, 3) - 2 (- 1, 4) = (10, 15) - (- 2, 8) = (12, 7)$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Linearitas Trace T(A) = tr(A))

Buktikan bahwa $T : M_{2 \times 2} (R) \to R$ dengan $T (A) = tr (A)$ adalah transformasi linear.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $T (c A + B) = tr (c A + B) = c \cdot tr (A) + tr (B) = c T (A) + T (B)$ . Terbukti linear. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 2
Sub-Topik Selanjutnya: Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas →

Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi

1. Definisi Transformasi Linear

2. Matriks Representasi

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 3.1

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Soal Latihan Pengayaan Bab 2: Ruang Vektor

Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas

Diskusi & Tanya Jawab

Title