Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas

Setiap transformasi linear $T$ memiliki dua subruang fundamental yang menentukan sifat pemetaan seperti injektivitas dan surjektivitas.

1. Inti (Kernel) dan Peta (Image)

Definisi (Kernel dan Image)

Misalkan $T : V \to W$ adalah transformasi linear:

Inti (Kernel): $Ker (T) = {v \in V : T (v) = 0_{W}}$ . Dimensinya disebut nolitas ( $null (T)$ ).
Peta (Image): $Im (T) = {T (v) : v \in V}$ . Dimensinya disebut rank ( $rank (T)$ ).

Proposisi (Karakterisasi Injektivitas)

$Ker (T) \leq V$ dan $Im (T) \leq W$ .
$T$ bersifat injektif jika dan hanya jika $Ker (T) = {0_{V}}$ .

2. Teorema Rank-Nolitas

Teorema (Teorema Rank-Nolitas)

Misalkan $T : V \to W$ adalah transformasi linear dengan $V$ berdimensi hingga. Maka:

$dim (V) = rank (T) + null (T)$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Verifikasi Teorema Rank-Nolitas T: R^3 -> R^2)

Misalkan $T : R^{3} \to R^{2}$ didefinisikan oleh $T (x, y, z) = (x + y, y + z)$ . Tentukan basis untuk $Ker (T)$ dan verifikasi Teorema Rank-Nolitas.

Latihan Soal Section 3.2

✏️ Latihan Soal 1 (Kernel dan Image Operator T(p) = p' + p'')

Misalkan $T : P_{2} (R) \to P_{2} (R)$ didefinisikan sebagai $T (p) = p^{'} + p^{''}$ . Tentukan basis untuk $Ker (T)$ dan $Im (T)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} ⟹ p^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x$ dan $p^{''} (x) = 2 a_{2}$ . $T (p) = (a_{1} + 2 a_{2}) + 2 a_{2} x$ .

$Ker (T)$ : $T (p) = 0 ⟺ a_{2} = 0$ dan $a_{1} = 0$ . Maka $p (x) = a_{0}$ (polinomial konstanta). Basis $Ker (T) = {1}$ , $null (T) = 1$ .
$Im (T)$ : $rank (T) = 3 - 1 = 2$ . Basis $Im (T) = {1, x}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Ketidakmungkinan Injektivitas bila dim(V) > dim(W))

Buktikan bahwa jika $dim (V) > dim (W)$ , maka tidak ada transformasi linear $T : V \to W$ yang bersifat injektif.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Berdasarkan Teorema Rank-Nolitas: $null (T) = dim (V) - rank (T)$ . Karena $rank (T) \leq dim (W) < dim (V)$ , maka $null (T) > 0$ . Karena $Ker (T) \neq = {0}$ , $T$ tidak injektif. $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Dekomposisi V = Ker(T) (+) Im(T) untuk Proyeksi T^2 = T)

Misalkan $T : V \to V$ memenuhi $T^{2} = T$ . Buktikan bahwa $V = Ker (T) \oplus Im (T)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk setiap $v \in V$ , tulis $v = (v - T (v)) + T (v)$ . Perhatikan $T (v - T (v)) = T (v) - T^{2} (v) = T (v) - T (v) = 0 ⟹ v - T (v) \in Ker (T)$ . Dan $T (v) \in Im (T)$ . Maka $V = Ker (T) + Im (T)$ .
Irisan: Ambil $x \in Ker (T) \cap Im (T) ⟹ T (x) = 0$ dan $x = T (u)$ . Maka $x = T (u) = T^{2} (u) = T (T (u)) = T (x) = 0$ . Terbukti $V = Ker (T) \oplus Im (T)$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi
Sub-Topik Selanjutnya: Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi →

Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas

1. Inti (Kernel) dan Peta (Image)

2. Teorema Rank-Nolitas

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 3.2

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi

Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title