Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi

Representasi matriks dari operator linear sangat bergantung pada pemilihan basis.

1. Perubahan Basis dan Keserupaan Matriks

Teorema (Keserupaan Matriks Representasi)

Misalkan $T : V \to V$ adalah operator linear. Jika $β$ dan $γ$ adalah dua basis bagi $V$ , dan $P = [I]_{γ}^{β}$ adalah matriks transisi dari $γ$ ke $β$ , maka:

$[T]_{γ} = P^{- 1} [T]_{β} P$

Dua matriks $A$ dan $B$ dikatakan serupa (similar) jika terdapat matriks invertibel $P$ sedemikian sehingga $B = P^{- 1} A P$ .

Proposisi (Invarian Keserupaan)

Jika $A$ dan $B$ serupa, maka:

$det (A) = det (B)$ .
$tr (A) = tr (B)$ .
$A$ dan $B$ memiliki polinom karakteristik yang sama.

2. Operator Proyeksi

Definisi (Operator Proyeksi)

Operator linear $P : V \to V$ disebut proyeksi jika bersifat idempoten: $P^{2} = P$ .

Teorema (Sifat Operator Proyeksi)

Jika $P$ adalah proyeksi pada $V$ :

$V = Im (P) \oplus Ker (P)$ .
Untuk setiap $v \in Im (P)$ , berlaku $P (v) = v$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Operator I - P Adalah Proyeksi)

Tunjukkan bahwa jika $P$ adalah proyeksi, maka $I - P$ juga merupakan proyeksi.

Latihan Soal Section 3.3

✏️ Latihan Soal 1 (Perubahan Basis Representasi Operator Linear)

Diberikan basis $β = {(1, 0), (0, 1)}$ dan $γ = {(1, 1), (1, - 1)}$ . Jika $[T]_{β} = (1221)$ , tentukan $[T]_{γ}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Matriks transisi dari $γ$ ke $β$ adalah $P = (11 1 - 1)$ . Hitung $P^{- 1} = \frac{1}{- 2} (- 1 - 1 - 1 1) = (1/2 1/2 1/2 - 1/2)$ . $[T]_{γ} = P^{- 1} [T]_{β} P = (1/2 1/2 1/2 - 1/2) (1221) (11 1 - 1) = (30 0 - 1)$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Hubungan rank(P) = tr(P) untuk Proyeksi)

Misalkan $P : V \to V$ adalah proyeksi. Buktikan bahwa $rank (P) = tr (P)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Pilih basis yang disesuaikan dengan dekomposisi $V = Im (P) \oplus Ker (P)$ . Terhadap basis ini, matriks representasi $P$ berbentuk diagonal blok $(I_{r} 0 00)$ di mana $r = rank (P)$ . Maka $tr (P) = tr (I_{r}) = r = rank (P)$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 3 →

Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi

1. Perubahan Basis dan Keserupaan Matriks

2. Operator Proyeksi

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 3.3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Soal Latihan Pengayaan Bab 3: Transformasi Linear

Peta, Inti, dan Teorema Rank-Nolitas

Diskusi & Tanya Jawab

Title