Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Struktur Aljabar

Diketahui $G=\{1,-1\}$ grup dengan operasi kali dan $G^3=\{(a,b,c):a,b,c\in G\}$ grup dengan operasi $(a_1,b_1,c_1)\ast (a_2,b_2,c_2)=(a_1{a}_2,b_1{b}_2,c_1{c}_2)$ untuk setiap $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)\in G^3$. Banyaknya subgrup dari $G^3$ dengan orde 4 adalah $\dots$

Penulisan permutasi $\varphi =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 8& 2& 6& 3& 7& 4& 5& 1\end{array}\right)$ sebagai perkalian permutasi siklik yang saling disjoin adalah $\dots$

Perhatikan grup dihedral dengan order 8: $D_4=\{e,y,y^2,y^3,x,xy,x{y}^2,x{y}^3\}$ dengan $x^2=y^4=e$ dan $xy=y^{-1}x$. Grup $D_4$ ini mempunyai subgrup berorder 4 yang tidak siklik yaitu $\dots$

Perhatikan ring kuosien ${\mathbb{Z}}_5[x]/I$ dengan $I$ adalah ideal yang dibangun oleh $h=x^3+3x+2$. Unsur $(x+2)+I$ di ${\mathbb{Z}}_5[x]/I$ mempunyai balikan dan balikannya adalah $\dots$

Contoh ideal maksimal di ${\mathbb{Z}}_{18}$ adalah $\dots$

Perhatikan ring polinom ${\mathbb{Z}}_3[x]$ dan jika $f\in {\mathbb{Z}}_3[x]$ notasi $⟨f⟩$ menyatakan ideal yang dibangun oleh $f$. Bilangan $c\in {\mathbb{Z}}_3[x]$ sehingga ${\mathbb{Z}}_3[x]/⟨x^3+c{x}^2+1⟩$ membentuk suatu field adalah $\dots$

Polinom $x^4+4$ di ring ${\mathbb{Z}}_5[x]$ dapat difaktorkan atas polinom tak tereduksikan yaitu $\dots$

Jika $F$ adalah field dengan order 81 maka karakteristik $F$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu himpunan tak kosong dan $\ast$ suatu operasi biner pada $G$ yang bersifat asosiatif dan untuk setiap $a,b\in G$ berlaku $a^2\ast b=b=b\ast a^2$. Buktikan bahwa $G$ adalah grup komutatif.

Misalkan $R$ suatu ring dengan karakteristik $n$ (berhingga). Untuk setiap $a\in R$ notasi $G(a)=\{ka:k\in \mathbb{Z}\}$ menyatakan subgrup siklik dari $R$ terhadap operasi tambah yang dibangun oleh $a$.

(a) Buktikan bahwa jika $R$ integral domain maka untuk setiap $a,b\in R$ dengan $a\ne 0$ dan $b\ne 0$ berlaku subgrup $G(a)$ dan $G(b)$ isomorfik.

(b) Apakah jika pada pernyataan (a) di atas syarat $R$ integral domain kita hilangkan, pernyataan “untuk setiap $a,b\in R$ dengan $a\ne 0$ dan $b\ne 0$ berlaku subgrup $G(a)$ dan $G(b)$ isomorfik” masih berlaku? Jelaskan.

Dari $R$ ring dan himpunan tak kosong $J\subset R$ dibentuk himpunan $N(J)=\{r\in R\mid rx=0,\forall x\in J\}.$

(a) Tunjukkan $N(J)$ tidak kosong.

(b) Apakah $N(J)$ merupakan ideal? Jelaskan.

(c) Jika $J\subset J^{\prime }\subset R$, apa hubungan dari $N(J)$ dan $N(J^{\prime })$? Jelaskan.