Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Kombinatorika

Hitung $\binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + \dots + n\binom{n}{n}.$

Tentukan banyaknya bilangan bulat 7 digit yang disusun dari angka $2,2,3,4,4,4,0$.

Tentukan solusi dari $a_n = 2a_{n - 1} + 3^n$ dengan $a_1 = 5$.

Berapa banyak permutasi dari huruf $ABCDEFG$ yang memuat string $BA$ dan $GF$?

Jika 7 bilangan diambil (tanpa pengembalian) dari himpunan $\{1,2,3,\dots,15\}$, berapakah peluang jumlah tujuh bilangan tersebut genap?

Berapa banyak solusi bilangan bulat dari persamaan $x_1 + x_2 + x_3 = 20$ dengan $2 < x_1 < 6, 6 < x_2 < 10,$ dan $0 < x_3 < 5$?

Kartu bridge dengan 52 kartu dibagi kepada 4 orang pemain sehingga masing-masing menerima 13 kartu. Banyaknya cara yang dapat dilakukan $\dots$

Berikan koefisien $x^{80}$ pada ekspansi $\displaystyle \left(x - \frac{1}{x}\right)^{100}$.

Misal $(x_i,y_i,z_i), i =1,2,3,\dots,9$ adalah himpunan 9 titik berbeda dengan koordinat bulat pada ruang $xyz$. Tunjukkan bahwa titik tengah dari garis yang menghubungkan sedikitnya satu pasang dari titik-titik tersebut berkoordinat bulat.

Ada $n$ orang akan naik becak (menjadi penumpang) $r$ buah becak berlainan, dengan $n > r > 1$ dan setiap becak berisi satu atau dua penumpang. Ada berapa cara memasangkan $n$ orang ke $r$ becak tersebut sehingga setiap becak berisi satu atau dua penumpang?

Tentukan rute terpendek dari kota A ke kota B.