Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Diketahui polinom $p(z) = a_0z^n + a_1 z^{n - 1} +\dots+ a_n$ dengan $a_0,a_1,\dots,a_n$ menyatakan bilangan real. Jika $z_0 = 3 - 4i$ merupakan akar dari $p(z)$, maka salah satu akar lain yang pasti muncul adalah $\dots$

Faktorkan $x^4 + 1$ menjadi perkalian polinom derajat lebih rendah, tetapi memiliki koefisien real.

Tentukan jari-jari konvergensi deret $1 -z^2 + z^4 - z^6 + \dots.$

Tentukan banyaknya akar persamaan $z^4 - 5z + 1 = 0$ di $1 \le |z| \le 2$.

Diketahui fungsi analitik $f(z) = \frac{2(z - 2)}{z(z - 4)}$ dan tuliskan sebagai $\displaystyle f(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_n(z - 1)^n$. Nilai $a_{100}$ adalah $\dots$

Diketahui $z_1 = -1 + i$ dan $z_2 = 3 + 4i$. Bilangan kompleks $w$ berada pada penggal garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2$. Jika $|w| = \sqrt{27}$, tentukan $w$.

Hitunglah nilai dari $\displaystyle \int_C e^{2/z}\,\mathrm{d}z$ bila $C$ adalah lingkaran satuan.

Diketahui $C$ lingkaran yang berpusat di $0$. Tentukan nilai dari $\displaystyle \int_C \frac{\mathrm{d}z}{1 - z}$.

Diketahui $f$ fungsi entire (analitik di seluruh bidang kompleks) dan diketahui pula ada bilangan bulat $k$, bilangan positif $A,B$ sehingga $|f(z)| \le A + B|z|^k.$ Buktikan bahwa $f$ merupakan polinom dengan derajat paling tinggi $k$.

Tunjukkan bahwa : $P_n(z) = a_0z^n + a_1z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1}z + a_n$ sekurang-kurangnya mempunyai satu nilai nol.

Buktikan bahwa $\displaystyle \text{Ln}(z + 1) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots$ untuk $|z| < 1$.