Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Struktur Aljabar

Diketahui $G = \{1,-1\}$ grup dengan operasi kali dan $G^3 = \{(a,b,c) : a,b,c \in G\}$ grup dengan operasi $(a_1,b_1,c_1)* (a_2,b_2,c_2) = (a_1a_2,b_1b_2,c_1c_2)$ untuk setiap $(a_1,b_1,c_1), (a_2,b_2,c_2)\in G^3$. Banyaknya subgrup dari $G^3$ dengan orde 4 adalah $\dots$

Penulisan permutasi $\phi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 8 & 2 & 6 & 3 & 7 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ sebagai perkalian permutasi siklik yang saling disjoin adalah $\dots$

Perhatikan grup dihedral dengan order 8: $D_4 =\{e,y,y^2,y^3,x,xy,xy^2,xy^3\}$ dengan $x^2 = y^4 = e$ dan $xy = y^{-1} x$. Grup $D_4$ ini mempunyai subgrup berorder 4 yang tidak siklik yaitu $\dots$

Perhatikan ring kuosien $\mathbb{Z}_5[x]/I$ dengan $I$ adalah ideal yang dibangun oleh $h = x^3 + 3x + 2$. Unsur $(x + 2) + I$ di $\mathbb{Z}_5[x]/I$ mempunyai balikan dan balikannya adalah $\dots$

Contoh ideal maksimal di $\mathbb{Z}_{18}$ adalah $\dots$

Perhatikan ring polinom $\mathbb{Z}_3[x]$ dan jika $f\in \mathbb{Z}_3[x]$ notasi $\langle f\rangle$ menyatakan ideal yang dibangun oleh $f$. Bilangan $c\in \mathbb{Z}_3[x]$ sehingga $\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^3 + cx^2 + 1\rangle$ membentuk suatu field adalah $\dots$

Polinom $x^4 + 4$ di ring $\mathbb{Z}_5[x]$ dapat difaktorkan atas polinom tak tereduksikan yaitu $\dots$

Jika $F$ adalah field dengan order 81 maka karakteristik $F$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu himpunan tak kosong dan $*$ suatu operasi biner pada $G$ yang bersifat asosiatif dan untuk setiap $a,b\in G$ berlaku $a^2*b=b = b*a^2$. Buktikan bahwa $G$ adalah grup komutatif.

Misalkan $R$ suatu ring dengan karakteristik $n$ (berhingga). Untuk setiap $a\in R$ notasi $G(a) = \{ka : k\in \mathbb{Z}\}$ menyatakan subgrup siklik dari $R$ terhadap operasi tambah yang dibangun oleh $a$.

(a) Buktikan bahwa jika $R$ integral domain maka untuk setiap $a,b\in R$ dengan $a\neq 0$ dan $b\neq 0$ berlaku subgrup $G(a)$ dan $G(b)$ isomorfik.

(b) Apakah jika pada pernyataan (a) di atas syarat $R$ integral domain kita hilangkan, pernyataan “untuk setiap $a,b\in R$ dengan $a\neq 0$ dan $b\neq 0$ berlaku subgrup $G(a)$ dan $G(b)$ isomorfik” masih berlaku? Jelaskan.

Dari $R$ ring dan himpunan tak kosong $J\subset R$ dibentuk himpunan $N(J) = \{r\in R \mid rx = 0, \forall x\in J\}.$

(a) Tunjukkan $N(J)$ tidak kosong.

(b) Apakah $N(J)$ merupakan ideal? Jelaskan.

(c) Jika $J\subset J'\subset R$, apa hubungan dari $N(J)$ dan $N(J')$? Jelaskan.