Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Aljabar Linear

Jika $A$ matriks berukuran $1999\times 2006$, maka nilai minimal $\text{rank}(A) + \text{nolitas}(A)$ adalah $\dots$

Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2 + x, x + 1, x^2 +1 \}$ di $P_2$ adalah $\dots$

Jika $T : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ adalah pemetaan linear dan $x\in\mathbb{C}$, maka $T(x) = \dots$

Suku banyak karakteristik dari matriks $\begin{bmatrix}1 &-2 &3\\ 4 & 5 & -6\\ -7 & 8 & 9\end{bmatrix}$ adalah $\dots$

Jika $A = \begin{bmatrix}2 & 1\\ 1& 2\end{bmatrix}$, maka $A^{2016} = \dots$

Misalkan himpunan vektor $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ di $\mathbb{C}^n$ bebas linear. Agar himpunan $\{u_1 + \alpha u_2, u_2 + \alpha u_3, u_3 + \alpha u_4, u_4 + \alpha u_1\}$ juga bebas linear, skalar $\alpha$ haruslah $\dots$

Misalkan $X = \{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}$ dan $P$ adalah proyeksi ortogonal pada $X$. Matriks representasi $P$ terhadap basis baku di ruang Euclid $\mathbb{R}^3$ adalah $\dots$

Misalkan $a$ bilangan real sehingga matriks $\begin{bmatrix}1 & a & a\\ a & 1 & a\\ a& a & 1\end{bmatrix}$ memiliki tiga nilai karakteristik real $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 > 0$. Maka $a$ harus terletak di dalam selang $\dots$

Misalkan $x_1, x_2,$ dan $x_3$ bilangan real dengan $x_1 < x_2 < x_3$. Pemetaan $T :P_2 \to \mathbb{R}^3$ didefinisikan dengan aturan $T(p(x)) = \begin{bmatrix}p(x_1)\\p(x_2)\\p(x_3)\end{bmatrix}$ untuk setiap $p(x) \in P_2$.

(a) Tunjukkan bahwa $T$ merupakan pemetaan linear.

(b) Periksa apakah $T$ bijektif.

Misalkan $A$ matriks ukuran $2\times 2$ yang memenuhi $\text{tr}(A^2) = [\text{tr}(A)]^2$.

(a) Tentukan $\det (A)$.

(b) Jika $A$ tidak dapat didiagonalkan, tentukan $\text{tr} (A)$.

Misalkan $\lambda$ adalah nilai karakteristik matriks $P$ yang memenuhi $P^T = P^2$. Tentukan semua $\lambda$ yang mungkin.