Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Real

Supremum dan infimum dari himpunan $\displaystyle A =\left\{\frac{m}{n} +\frac{8n}{m} : m,n\in \mathbb{N}\right\}$, $\mathbb{N}$ himpunan semua bilangan asli, adalah $\dots$

Berapa banyak akar dari persamaan $\displaystyle a e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2}$, untuk $a>0$?

Misalkan $f$ terdiferensialkan secara kontinu pada $x = a$ dan $f(a) \neq 0$. Tentukan nilai dari $\lim_{n\to \infty} \left[\frac{f\left(a + \frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^n$

Untuk nilai $p$ berapakah deret $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}\right)^p$ konvergen?

Misalkan fungsi-fungsi $f$ dan $g$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensialkan pada $(a,b)$. Jika $f'(x) = g'(x)\neq 0, \forall x\in(a,b)$ dan $g(a) = a$, $g(b) = b$, tentukan nilai dari $|f(a) - f(b)|$.

Misalkan $p_n(x)$ polinom Maclaurin untuk fungsi $e^x$, berapakah derajat polinom $n$ terkecil sehingga $|e^x - p_n(x)| \le 10^{-2}$ untuk $-1 \le x \le 1$?

Hitunglah $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\int_0^1\frac{x^n}{\cos x}\,\mathrm{d}x$.

Diberikan fungsi $f$ terdiferensialkan pada $\mathbb{R}$. Jika $\displaystyle \lim_{x\to 0} f\left(\frac{a}{x} + b\right)$ ada dan tak nol, $\lim_{x\to 0}\left[f\left(\frac{a}{x} + b\right)- \frac{a}{x}f'\left(\frac{a}{x} + b\right)\right] =\alpha.$ Berapakah nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)$?

Diberikan barisan $(x_n)$ dengan $0 < x_1 < x_2$ dan $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_n$ untuk $n = 1,2,3,\dots$. Tinjau barisan $\displaystyle r_n = \frac{x_{n + 1}}{x_n}, n = 1,2,3,\dots$:

(a) Tunjukkan bahwa $1 < r_n < 2$ untuk $n = 1,2,3,4,\dots$.

(b) Selidiki kekonvergenan $(r_n)$.

Misalkan $f :[a,b] \to \mathbb{R}$ terbatas. Variasi total dari $f$ pada $[a,b]$ ditulis $V_f[a,b]$, didefinisikan sebagai $V_f[a,b] := \sup \sum_{i = 1}^n \left| f(x_i) - f(x_{i - 1})\right|$ dengan nilai supremum diambil atas semua partisi $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ dari $[a,b]$. Di sini $V_f[a,b]$ dapat bernilai $\infty$.

(a) Hitung/taksir $V_f[0,1]$ untuk $f(x) := x\cos \left(\frac{1}{x}\right)$.

(b) Hitung/taksir $V_f[0,1]$ untuk $g(x) := x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)$.

Diberikan barisan fungsi real $(f_n), f_n :[0,2] \to\mathbb{R}$, dengan $f_n = \frac{x^n}{1 + x^n},\quad n = 1,2,3,\dots.$

(a) Buktikan $(f_n)$ tidak konvergen seragam pada $[0,2]$.

(b) Tentukan $\displaystyle\lim_{n\to \infty} f_n(x), x\in [0,2]$.