Latihan Soal Bab 5: Ring dan Daerah Integral

Halaman ini berisi kumpulan latihan soal Bab 5 untuk memperdalam pemahaman mengenai aksioma ring, daerah integral, dan lapangan.

Latihan Soal Bab 5

✏️ Latihan Soal 1 (Ring Subhimpunan Z[\sqrt{2}])

Tentukan apakah $R = {a + b 2 : a, b \in Z}$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian real biasa.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Penjumlahan: $(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 \in R$ .
Perkalian: $(a + b 2) (c + d 2) = (a c + 2 b d) + (a d + b c) 2 \in R$ .
Sifat asosiatif, distributif, identitas $0$ dan invers terdistribusi dari $R$ . Maka $R$ adalah ring (subring dari $R$ ). $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Unsur Nilpoten dan Unit 1 - a)

Misalkan $R$ adalah ring komutatif dengan satuan. Unsur $a \in R$ disebut nilpoten jika $a^{n} = 0$ untuk suatu $n > 0$ . Buktikan bahwa $1 - a$ memiliki invers perkalian (unit).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan identitas deret geometri terhingga:

$(1 - a) (1 + a + a^{2} + \dots + a^{n - 1}) = 1 - a^{n} = 1 - 0 = 1$

Maka invers dari $1 - a$ adalah $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n - 1}$ . Terbukti $1 - a$ adalah unit. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Karakteristik Ring
Sub-Topik Selanjutnya: Ideal, Ideal Maksimal, dan Ideal Prima →

Latihan Soal Bab 5: Ring dan Daerah Integral

Latihan Soal Bab 5

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (6)

Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang

Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Teorema Liouville dan Aplikasi

Teorema Residu Cauchy

Ideal, Ideal Maksimal, dan Ideal Prima

Karakteristik Ring

Diskusi & Tanya Jawab

Title