Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang

Konsep komplemen ortogonal memungkinkan kita memahami struktur ruang vektor melalui sudut pandang keortogonalan.

1. Definisi Komplemen Ortogonal

Definisi (Komplemen Ortogonal W^\perp)

Misalkan $W \leq V$ . Komplemen ortogonal dari $W$ , dinotasikan $W^{⊥}$ , adalah:

$W^{⊥} = {v \in V : ⟨ v, w ⟩ = 0 untuk semua w \in W}$

Proposisi (Sifat Dasar W^\perp)

$W^{⊥} \leq V$ .
$W \cap W^{⊥} = {0}$ .
$(W^{⊥})^{⊥} = W$ (untuk ruang berdimensi hingga).

2. Dekomposisi Ortogonal

Teorema (Dekomposisi Ortogonal V = W (+) W^\perp)

Jika $W$ adalah subruang berdimensi hingga dari $V$ , maka setiap $v \in V$ dapat ditulis secara tunggal sebagai $v = w + w^{⊥}$ dengan $w \in W$ dan $w^{⊥} \in W^{⊥}$ .

$V = W \oplus W^{⊥}$

Hubungan dengan Ruang Matriks:

$(Row A)^{⊥} = Ker (A)$
$(Col A)^{⊥} = Ker (A^{T})$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Komplemen Ortogonal Bidang x - 2y + z = 0)

Misalkan $W$ adalah bidang di $R^{3}$ yang didefinisikan oleh $x - 2 y + z = 0$ . Tentukan basis untuk $W^{⊥}$ .

Latihan Soal Section 5.3

✏️ Latihan Soal 1 (Persamaan Sistem Linear W^\perp)

Misalkan $W = span {(1, 2, 1)}$ . Tentukan persamaan sistem linear yang mendefinisikan $W^{⊥}$ di $R^{3}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $v = (x, y, z) \in W^{⊥} ⟺ ⟨(x, y, z), (1, 2, 1)⟩ = 0 ⟺ x + 2 y + z = 0$ . Persamaan bidangnya adalah $x + 2 y + z = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Ker(A^T A) = Ker(A))

Misalkan $A \in M_{m \times n} (R)$ . Buktikan bahwa $Ker (A^{T} A) = Ker (A)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

( $\supseteq$ ) Jika $x \in Ker (A) ⟹ A x = 0 ⟹ A^{T} A x = A^{T} 0 = 0 ⟹ x \in Ker (A^{T} A)$ .
( $\subseteq$ ) Jika $x \in Ker (A^{T} A) ⟹ A^{T} A x = 0 ⟹ x^{T} A^{T} A x = 0 ⟹ (A x)^{T} (A x) = 0 ⟹ ∥ A x ∥^{2} = 0 ⟹ A x = 0 ⟹ x \in Ker (A)$ . Terbukti. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 5 →

Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang

1. Definisi Komplemen Ortogonal

2. Dekomposisi Ortogonal

Hubungan dengan Ruang Matriks:

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 5.3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Soal Latihan Pengayaan Bab 5: Ruang Hasil Kali Dalam

Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR

Diskusi & Tanya Jawab

Title