Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR

Bekerja dengan basis ortonormal sangat efisien karena koordinat vektor dapat dihitung melalui proyeksi langsung.

1. Algoritma Gram-Schmidt

Definisi (Proyeksi Ortogonal)

Proyeksi ortogonal vektor $v$ ke $u \neq = 0$ adalah: $proj_{u} (v) = \frac{⟨ v , u ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u$ .

Teorema (Proses Ortogonalisasi Gram-Schmidt)

Diberikan basis ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ , konstruksi basis ortogonal ${u_{1}, \dots, u_{n}}$ :

$u_{1} = v_{1}$
$u_{2} = v_{2} - proj_{u_{1}} (v_{2})$
$u_{k} = v_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} proj_{u_{j}} (v_{k})$

Normalisasi $e_{i} = \frac{u _{i}}{∥ u _{i} ∥}$ menghasilkan basis ortonormal.

2. Dekomposisi QR

Teorema (Dekomposisi QR Matriks)

Setiap matriks $A \in M_{m \times n} (R)$ dengan kolom-kolom bebas linear dapat difaktorkan menjadi:

$A = QR$

di mana $Q$ memiliki kolom-kolom ortonormal ( $Q^{T} Q = I$ ) dan $R$ adalah matriks segitiga atas yang invertibel.

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Gram-Schmidt pada Vektor R^3)

Gunakan Gram-Schmidt pada basis $v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (1, 0, 1), v_{3} = (0, 1, 1)$ .

Latihan Soal Section 5.2

✏️ Latihan Soal 1 (Vektor Ortogonal Non-Nol Pasti Bebas Linear)

Buktikan bahwa jika ${u_{1}, \dots, u_{k}}$ adalah himpunan vektor ortogonal non-nol, maka himpunan tersebut pasti bebas linear.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ambil $c_{1} u_{1} + \dots + c_{k} u_{k} = 0$ . Ambil hasil kali dalam dengan $u_{i}$ : $⟨ c_{1} u_{1} + \dots + c_{k} u_{k}, u_{i} ⟩ = ⟨ 0, u_{i} ⟩ = 0$ . Karena $⟨ u_{j}, u_{i} ⟩ = 0$ untuk $j \neq = i ⟹ c_{i} ⟨ u_{i}, u_{i} ⟩ = 0$ . Karena $u_{i} \neq = 0 ⟹ ⟨ u_{i}, u_{i} ⟩ > 0 ⟹ c_{i} = 0$ untuk seluruh $i$ . Terbukti bebas linear. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Proyeksi Ortogonal Vektor ke Subruang W)

Misalkan $W = span {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ . Tentukan proyeksi ortogonal dari $v = (1, 2, 3)$ ke $W$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gram-Schmidt pada $W$ : $u_{1} = (1, 1, 0)$ , $u_{2} = (- 1/2, 1/2, 1)$ . Proyeksi $v$ ke $W$ : $proj_{W} (v) = \frac{⟨ v , u _{1} ⟩}{∥ u _{1} ∥ ^{2}} u_{1} + \frac{⟨ v , u _{2} ⟩}{∥ u _{2} ∥ ^{2}} u_{2} = \frac{3}{2} (1, 1, 0) + \frac{7/2}{3/2} (- 1/2, 1/2, 1) = (1/3, 8/3, 7/3)$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Hasil Kali Dalam, Norma, dan Keortogonalan
Sub-Topik Selanjutnya: Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang →

Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR

1. Algoritma Gram-Schmidt

2. Dekomposisi QR

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 5.2

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang

Hasil Kali Dalam, Norma, dan Keortogonalan

Diskusi & Tanya Jawab

Title