Hasil Kali Dalam, Norma, dan Keortogonalan

Ruang hasil kali dalam memberikan struktur geometri tambahan pada ruang vektor yang memungkinkan definisi jarak dan sudut.

1. Definisi Hasil Kali Dalam dan Norma

Definisi (Hasil Kali Dalam & Norma)

Hasil kali dalam $⟨ u, v ⟩ \in F$ pada ruang vektor $V$ memenuhi:

Positivitas: $⟨ v, v ⟩ \geq 0$ , dan $⟨ v, v ⟩ = 0 ⟺ v = 0$ .
Linearitas Komponen Pertama: $⟨ a u + v, w ⟩ = a ⟨ u, w ⟩ + ⟨ v, w ⟩$ .
Simetri Konjugat: $⟨ u, v ⟩ = \overline{⟨ v, u ⟩}$ .

Norma (panjang) didefinisikan sebagai $∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩$ .

2. Cauchy-Schwarz dan Pythagoras

Proposisi (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Untuk setiap $u, v \in V$ :

$∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ \leq ∥ u ∥∥ v ∥$

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $u$ dan $v$ bergantung linear.

Teorema (Teorema Pythagoras)

Dua vektor $u, v$ dikatakan ortogonal ( $⟨ u, v ⟩ = 0$ ). Jika $u ⊥ v$ , maka:

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Norma Fungsi f(x) = x^2 di C[0,1])

Hitung norma fungsi $f (x) = x^{2}$ pada $V = C [0, 1]$ dengan hasil kali dalam $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x$ .

Latihan Soal Section 5.1

✏️ Latihan Soal 1 (Identitas Jajaran Genjang)

Buktikan Identitas Jajaran Genjang: $∥ u + v ∥^{2} + ∥ u - v ∥^{2} = 2∥ u ∥^{2} + 2∥ v ∥^{2}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 Re ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2}$ . $∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 Re ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2}$ . Jumlahkan kedua persamaan: $∥ u + v ∥^{2} + ∥ u - v ∥^{2} = 2∥ u ∥^{2} + 2∥ v ∥^{2}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Karakterisasi Keortogonalan via ||u+v|| = ||u-v||)

Buktikan bahwa $u ⊥ v$ di ruang real $⟺ ∥ u + v ∥ = ∥ u - v ∥$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u - v ∥^{2} ⟺ ∥ u ∥^{2} + 2 ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2} ⟺ 4 ⟨ u, v ⟩ = 0 ⟺ ⟨ u, v ⟩ = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Jumlah Kebalikan)

Gunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk membuktikan bahwa untuk $a_{i} > 0$ :

$(a_{1} + \dots + a_{n}) (\frac{1}{a _{1}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}) \geq n^{2}$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Pilih vektor $u = (a_{1}, \dots, a_{n})$ dan $v = (1/ a_{1}, \dots, 1/ a_{n})$ di $R^{n}$ . $⟨ u, v ⟩ = \sum a_{i} \cdot \frac{1}{a _{i}} = n$ . $∥ u ∥^{2} = \sum a_{i}$ , $∥ v ∥^{2} = \sum \frac{1}{a _{i}}$ . Berdasarkan Cauchy-Schwarz $∣ ⟨ u, v ⟩ ∣^{2} \leq ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} ⟹ n^{2} \leq (a_{1} + \dots + a_{n}) (\frac{1}{a _{1}} + \dots + \frac{1}{a _{n}})$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 4
Sub-Topik Selanjutnya: Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR →

Hasil Kali Dalam, Norma, dan Keortogonalan

1. Definisi Hasil Kali Dalam dan Norma

2. Cauchy-Schwarz dan Pythagoras

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 5.1

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Soal Latihan Pengayaan Bab 4: Nilai & Vektor Karakteristik

Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title