Ideal, Ideal Maksimal, dan Ideal Prima

Ideal adalah subring dengan sifat penyerapan yang kuat terhadap operasi perkalian, yang berfungsi sebagai analog subgrup normal pada teori grup.

1. Definisi Ideal

Definisi (Ideal)

Suatu subring $I$ dari ring $R$ disebut ideal jika untuk setiap $a \in I$ dan $r \in R$ , berlaku:

$r a \in I dan a r \in I$

Definisi (Ideal Maksimal dan Ideal Prima)

Misalkan $R$ adalah ring komutatif dengan satuan.

Ideal Maksimal: Ideal $M \neq = R$ sedemikian sehingga tidak ada ideal $J$ lain yang memenuhi $M \subset J \subset R$ .
Ideal Prima: Ideal $P \neq = R$ sedemikian sehingga jika $ab \in P$ , maka $a \in P$ atau $b \in P$ .

Contoh (Ideal Memuat Unit Adalah Seluruh Ring)

Buktikan bahwa jika $R$ adalah ring dengan satuan dan $I$ adalah ideal dari $R$ yang memuat suatu unit $u \in R$ , maka $I = R$ .

✏️ Latihan Soal 1 (Ideal Prima di Z)

Dalam ring $Z$ , buktikan bahwa ideal $⟨ n ⟩$ adalah prima jika dan hanya jika $n$ adalah bilangan prima (atau $n = 0$ ).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

( $⟹$ ) Jika $n = ab$ komposit, $ab \in ⟨ n ⟩$ . Jika $⟨ n ⟩$ prima $⟹ a \in ⟨ n ⟩$ atau $b \in ⟨ n ⟩ ⟹ n ∣ a$ atau $n ∣ b$ , kontradiksi dengan $n = ab$ . Maka $n$ harus prima.
( $⟸$ ) Jika $p$ prima dan $ab \in ⟨ p ⟩ ⟹ p ∣ ab$ . Menurut Lema Euclid, $p ∣ a$ atau $p ∣ b ⟹ a \in ⟨ p ⟩$ atau $b \in ⟨ p ⟩$ . Terbukti prima. $■$