Latihan Soal Bab 4: Homomorfisma Grup

Pembahasan: Misalkan $G=⟨a⟩=\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$. Setiap elemen di $\text{Im}(\varphi )$ berbentuk $y=\varphi (g)$ untuk suatu $g\in G$. Karena $g=a^k$, maka $\varphi (g)=\varphi (a^k)=[\varphi (a){]}^k$. Maka setiap elemen di $\text{Im}(\varphi )$ merupakan perpangkatan dari $\varphi (a)$. Terbukti $\text{Im}(\varphi )=⟨\varphi (a)⟩$ adalah grup siklik. $■$

Pembahasan: Definisikan pemetaan $\Phi :G\to \text{Aut}(G)$ dengan $\Phi (g)={\text{inn}}_g$.

• Homomorfisma: $\Phi (gh)={\text{inn}}_{gh}(x)=(gh)x(gh{)}^{-1}=g(hx{h}^{-1})g^{-1}={\text{inn}}_g({\text{inn}}_h(x))=(\Phi (g)\circ \Phi (h))(x)$.
• Citra: $\text{Im}(\Phi )=\text{Inn}(G)$.
• Kernel: $\text{Ker}(\Phi )=\{g\in G:{\text{inn}}_g=\text{id}\}=\{g\in G:gx{g}^{-1}=x,\forall x\in G\}=\{g\in G:gx=xg,\forall x\in G\}=Z(G)$. Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama: $\text{Inn}(G)\cong G/Z(G)$. $■$