Teorema Cayley-Hamilton dan Aplikasinya

Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks persegi memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri.

1. Pernyataan Teorema Cayley-Hamilton

Teorema (Teorema Cayley-Hamilton)

Misalkan $A \in M_{n \times n} (F)$ dan $p (λ) = det (A - λ I) = (- 1)^{n} λ^{n} + c_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + c_{0}$ adalah polinom karakteristik dari $A$ . Maka:

$p (A) = (- 1)^{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I = 0$

2. Aplikasi Utama

Menghitung Invers: $c_{0} = det (A) \neq = 0 ⟹ A^{- 1} = - \frac{1}{c _{0}} ((- 1)^{n} A^{n - 1} + \dots + c_{1} I)$ .
Reduksi Pangkat: Setiap pangkat $A^{m}$ ( $m \geq n$ ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ${I, A, A^{2}, \dots, A^{n - 1}}$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Hitung Invers Matriks 2x2 via Cayley-Hamilton)

Misalkan $A = (1324)$ . Tunjukkan berlakunya Teorema Cayley-Hamilton dan gunakan untuk mencari $A^{- 1}$ .

Latihan Soal Section 4.3

✏️ Latihan Soal 1 (Hitung A^100 menggunakan Sisa Pembagian Polinomial)

Gunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung $A^{100}$ jika $A = (1012)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Polinom karakteristik: $p (λ) = (λ - 1) (λ - 2) = λ^{2} - 3 λ + 2$ . Bagi $x^{100}$ oleh $p (x)$ : $x^{100} = q (x) p (x) + (a x + b)$ .

Substitusi $x = 1 ⟹ 1 = a + b$ .
Substitusi $x = 2 ⟹ 2^{100} = 2 a + b$ . Kurangi: $a = 2^{100} - 1$ , $b = 1 - a = 2 - 2^{100}$ . Maka $A^{100} = a A + b I = (2^{100} - 1) (1012) + (2 - 2^{100}) (1001) = (10 2^{100} - 1 2^{100})$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Identitas Karakteristik Matriks 2x2)

Buktikan bahwa untuk setiap matriks $A_{2 \times 2}$ , persamaan $A^{2} - tr (A) A + det (A) I = 0$ selalu terpenuhi.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Polinom karakteristik matriks $2 \times 2$ adalah $p (λ) = λ^{2} - tr (A) λ + det (A)$ . Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton, $p (A) = A^{2} - tr (A) A + det (A) I = 0$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 4 →

Teorema Cayley-Hamilton dan Aplikasinya

1. Pernyataan Teorema Cayley-Hamilton

2. Aplikasi Utama

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 4.3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris

Soal Latihan Pengayaan Bab 4: Nilai & Vektor Karakteristik

Diskusi & Tanya Jawab

Title