Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris

Matriks persegi dikatakan dapat didiagonalisasi jika serupa dengan matriks diagonal, yang berarti terdapat basis yang terdiri sepenuhnya dari vektor-vektor eigen.

1. Syarat Diagonalisasi Matriks

Definisi (Matriks Dapat Didiagonalisasi)

Matriks $A \in M_{n \times n} (F)$ dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks invertibel $P$ dan matriks diagonal $D$ sedemikian sehingga:

$P^{- 1} A P = D$

Teorema (Syarat Vektor Eigen Bebas Linear)

Matriks $A$ berukuran $n \times n$ dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika $A$ memiliki $n$ vektor eigen yang bebas linear.

2. Multiplisitas Aljabar dan Geometris

Definisi (Multiplisitas Aljabar & Geometris)

Multiplisitas Aljabar ( $m_{λ}$ ): Banyaknya kemunculan $λ$ sebagai akar polinom karakteristik.
Multiplisitas Geometris ( $g_{λ}$ ): Dimensi ruang eigen $E_{λ}$ , yaitu $g_{λ} = dim (Ker (A - λ I))$ .

Teorema (Teorema Kesamaan Multiplisitas)

Matriks $A$ dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika untuk setiap nilai eigen $λ$ , berlaku:

$g_{λ} = m_{λ}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Uji Diagonalisasi Matriks Cacat (Defective))

Periksalah apakah matriks $A = (1011)$ dapat didiagonalisasi.

Latihan Soal Section 4.2

✏️ Latihan Soal 1 (Diagonalisasi Matriks 3x3 P^-1 A P = D)

Diberikan $A = 421030124$ . Tentukan $P$ dan $D$ sehingga $P^{- 1} A P = D$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Polinom karakteristik: $(3 - λ)^{2} (5 - λ) = 0 ⟹ λ_{1} = 5, λ_{2} = 3$ .
Nilai eigen $λ = 5$ : $v_{1} = (1, 2, 1)^{T}$ .
Nilai eigen $λ = 3$ : $v_{2} = (0, 1, 0)^{T}, v_{3} = (- 1, 0, 1)^{T}$ . $P = 121010 - 1 01$ dan $D = 500030003$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (n Nilai Eigen Berbeda Menjamin Diagonalisasi)

Buktikan bahwa jika $A_{n \times n}$ memiliki $n$ nilai eigen yang berbeda, maka $A$ pasti dapat didiagonalisasi.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda selalu bebas linear. Karena ada $n$ nilai eigen berbeda, terdapat $n$ vektor eigen bebas linear. Berdasarkan teorema, $A$ dapat didiagonalisasi. $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Pangkat Matriks Diagonal A^k = P D^k P^-1)

Buktikan bahwa jika $A = P D P^{- 1}$ , maka $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ untuk setiap $k \in N$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Induksi: $A^{k} = (P D P^{- 1})^{k} = (P D P^{- 1}) (P D P^{- 1}) \dots (P D P^{- 1}) = P D (P^{- 1} P) D \dots D P^{- 1} = P D^{k} P^{- 1}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Cayley-Hamilton dan Aplikasinya →

Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris

1. Syarat Diagonalisasi Matriks

2. Multiplisitas Aljabar dan Geometris

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 4.2

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik

Teorema Cayley-Hamilton dan Aplikasinya

Diskusi & Tanya Jawab

Title