Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik

Dalam analisis operator linear, kita mencari vektor khusus yang ketika ditransformasikan hasilnya hanyalah kelipatan skalar dari vektor itu sendiri.

1. Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Misalkan $T : V \to V$ adalah operator linear. Skalar $λ \in F$ disebut nilai eigen dari $T$ jika terdapat vektor tak nol $v \in V$ sedemikian sehingga:

$T (v) = λ v$

Vektor $v \neq = 0$ disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan $λ$ .

2. Polinom Karakteristik dan Ruang Eigen

Definisi (Polinom Karakteristik & Ruang Eigen)

Nilai eigen $λ$ dari matriks $A$ adalah solusi dari persamaan karakteristik:

$det (A - λ I) = 0$

Ruang Eigen: $E_{λ} = Ker (A - λ I)$ (subruang berisi semua vektor eigen $λ$ plus vektor nol).
Hubungan Trace & Determinan: $\sum λ_{i} = tr (A)$ dan $\prod λ_{i} = det (A)$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Hitung Nilai Eigen Matriks 2x2)

Tentukan nilai eigen dari matriks $A = (1221)$ .

Latihan Soal Section 4.1

✏️ Latihan Soal 1 (Nilai Eigen dan Ruang Eigen Matriks 3x3)

Carilah nilai eigen dan basis ruang eigen dari $A = 321141123$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Polinom karakteristik: $det (A - λ I) = - (λ - 2)^{2} (λ - 6) = 0$ .

Nilai eigen: $λ_{1} = 6$ (multiplisitas 1) dan $λ_{2} = 2$ (multiplisitas 2).
Basis $E_{6}$ : ${(1, 2, 1)^{T}}$ .
Basis $E_{2}$ : ${(- 1, 1, 0)^{T}, (- 1, 0, 1)^{T}}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Nilai Eigen Matriks Invers A^-1)

Buktikan bahwa jika $λ$ adalah nilai eigen dari matriks invertibel $A$ , maka $1/ λ$ adalah nilai eigen dari $A^{- 1}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $A v = λ v$ . Kalikan dengan $A^{- 1}$ dari kiri: $v = λ A^{- 1} v$ . Karena $A$ invertibel $⟹ λ \neq = 0$ . Bagi dengan $λ$ : $A^{- 1} v = \frac{1}{λ} v$ . Maka $1/ λ$ adalah nilai eigen dari $A^{- 1}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Nilai Eigen Transpose A^T)

Tunjukkan bahwa matriks $A$ dan $A^{T}$ memiliki nilai eigen yang sama.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $det (A^{T} - λ I) = det ((A - λ I)^{T}) = det (A - λ I)$ . Karena polinom karakteristiknya identik, $A$ dan $A^{T}$ memiliki nilai eigen yang sama. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 3
Sub-Topik Selanjutnya: Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris →

Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik

1. Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen

2. Polinom Karakteristik dan Ruang Eigen

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 4.1

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Diagonalisasi dan Multiplisitas Aljabar/Geometris

Soal Latihan Pengayaan Bab 3: Transformasi Linear

Diskusi & Tanya Jawab

Title