Deret Taylor dan Deret Laurent

Representasi deret memungkinkan pemahaman sifat lokal dari fungsi kompleks, terutama di sekitar titik singularitas.

1. Deret Taylor dan Deret Laurent

Teorema (Deret Taylor)

Jika $f (z)$ analitik di dalam cakram terbuka $∣ z - z_{0} ∣ < R$ :

$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n} dengan a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( z _{0} )}{n !}$

Teorema (Deret Laurent)

Jika $f (z)$ analitik pada anulus $R_{1} < ∣ z - z_{0} ∣ < R_{2}$ :

$f (z) = Bagian Utama n = 1 \sum \infty \frac{b _{n}}{( z - z _{0} ) ^{n}} + Bagian Analitik n = 0 \sum \infty a_{n} (z - z_{0})^{n}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Deret Laurent f(z) = 1/(z(z-2)) di Anulus 0 < |z| < 2)

Tentukan deret Laurent dari $f (z) = \frac{1}{z ( z - 2 )}$ untuk $0 < ∣ z ∣ < 2$ .

Latihan Soal Section 5.1

✏️ Latihan Soal 1 (Deret Laurent f(z) = z^2 e^{1/z} di z = 0)

Tentukan deret Laurent dari $f (z) = z^{2} e^{1/ z}$ di sekitar $z = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan deret $e^{u} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{u ^{n}}{n !}$ untuk $u = 1/ z$ : $f (z) = z^{2} (1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2 ! z ^{2}} + \frac{1}{3 ! z ^{3}} + \dots) = z^{2} + z + \frac{1}{2} + \frac{1}{6 z} + \frac{1}{24 z ^{2}} + \dots$ . Koefisien suku $\frac{1}{z}$ adalah $Res (f, 0) = \frac{1}{6}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 4: Pengintegralan Kompleks
Sub-Topik Selanjutnya: Klasifikasi Singularitas dan Residu →

1. Deret Taylor dan Deret Laurent

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 5.1

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (22 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (15)

Klasifikasi Singularitas dan Residu

Latihan Soal Bab 4: Pengintegralan Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title