Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Kompleks

Tentukan jari-jari konvergensi deret ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left[\frac{z(z+n)}{n}\right]}^n.$

Tentukan luas daerah peta dari hasil pemetaan daerah $\{z=x+iy\in \mathbb{C}\mid -1<x\le 2,-1\le y<3\}$ oleh transformasi linear $T(z)=(1+i\sqrt{3})z+2-i$.

Berapakah nilai integral berikut ${\int }_{|z-a|=a}\frac{z\mathrm{d}z}{z^4-1}\text{dengan}a\in \mathbb{R}\text{dan}a>1.$

Misalkan $f(z)$ fungsi analitik yang memenuhi $|f(z)|\le 1+|z{|}^{3/2}$. Tuliskan semua fungsi analitik yang mungkin.

Misalkan $p(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$ dan $q(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$. Selanjutnya definisikan $f(z)=p(z)q(z)$. Hitung $f^{(n)}(0),$ yaitu nilai turunan ke-$n$ untuk fungsi $f$ di titik 0. Nyatakan nilai tersebut dalam $(a_k)$ dan $(b_k)$.

Buktikan bahwa jika $z_1+z_2+z_3=0$ dan $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ maka $z_1,z_2,z_3$ adalah titik-titik ujung sebuah segitiga sama sisi yang berada di dalam lingkaran satuan.

Misalkan $f(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ fungsi analitik dengan jari-jari konvergensi $R$ dan di bidang kompleks hanya mempunyai satu pole order dua di titik $z_0$.

(a) Definisikan suatu fungsi analitik $F(z)$ yang analitik di seluruh bidang $\mathbb{C}$ yang diperoleh dari hasil perkalian $f(z)$ dengan suatu fungsi yang sederhana.

(b) Misalkan $F(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{d}_n{z}^n,$ berdasarkan hubungan yang diperoleh di soal (a), hitung nilai $c_n$ dinyatakan suku-suku dari barisan $(d_n)$.