Definisi Bilangan Kompleks dan Operasi Aljabar

Pembahasan: Gunakan hubungan $|z{|}^2=z\bar{z}$: $|z_1{z}_2{|}^2=(z_1{z}_2)(\overline{z_1{z}_2})=(z_1{z}_2)({\bar{z}}_1{\bar{z}}_2)=(z_1{\bar{z}}_1)(z_2{\bar{z}}_2)=|z_1{|}^2|z_2{|}^2$. Ambil akar kuadrat positif pada kedua ruas: $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$. $■$

Pembahasan:

• Ambil modulus: $|z^2|=|\bar{z}|⟹|z{|}^2=|z|⟹|z|(|z|-1)=0$.
• Kasus 1: $|z|=0⟹z=0$.
• Kasus 2: $|z|=1⟹\bar{z}=\frac{1}{z}$. Persamaan menjadi $z^2=\frac{1}{z}⟹z^3=1$. Akar-akar dari $z^3=1$ adalah $z=1$, $z=e^{i2\pi /3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, dan $z=e^{i4\pi /3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Maka solusi totalnya adalah $z\in \{0,1,-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$. $■$