Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Kompleks

Hitunglah $(i-1{)}^{49}{\left(\cos \frac{\pi }{40}+i\sin \frac{\pi }{40}\right)}^{10}.$

Diketahui fungsi $u(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y).$ Selidiki, apakah ada fungsi harmonik $v(x,y)$ sehingga $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ analitik. Jika ada, tuliskan.

Carilah nilai maksimum dari $|z^2+2z-3|$ pada cakram satuan tertutup $|z|\le 1$.

Tentukan residu dari fungsi $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z^2+1}$ di $z=0$.

Diberikan bilangan-bilangan kompleks $z_1,z_2$, dan $z_3$ yang memenuhi $z_1+z_2+z_3=0$ dan $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$. Buktikan bahwa $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0.$

Diberikan $S$ adalah sebuah domain (himpunan terbuka dan terhubung) dan $\gamma$ adalah sebuah kurva tertutup di dalam $S$. Diketahui fungsi $f(z)$ analitik pada $S$ dan $f^{\prime }(z)$ kontinu pada $S$. Buktikan bahwa ${\int }_{\gamma }\overline{f(z)}{f}^{\prime }(z)\mathrm{d}z$ bernilai imajiner murni.