Interpretasi Geometri: Garis, Lingkaran, dan Ketaksamaan Segitiga

Ketaksamaan segitiga

||z_1|-|z_2|| \le |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|

, persamaan lingkaran

|z-a|=R

, dan garis bagi tegak lurus.

📅 Dibuat: 6 Agustus 2026

🔄 Diperbarui: 6 Agustus 2026

Bilangan kompleks $z = x + i y$ dapat diidentifikasi secara unik dengan titik $(x, y)$ pada bidang Cartesius (Bidang Argand).

1. Ketaksamaan Segitiga

Teorema (Ketaksamaan Segitiga Kompleks)

Untuk setiap $z_{1}, z_{2} \in C$ :

$∣∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣∣ \leq ∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$

Kesamaan $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ terjadi jika dan hanya jika $z_{1}$ dan $z_{2}$ berada pada sinar yang sama dari titik asal.

2. Persamaan Kurva di Bidang Kompleks

Lingkaran: $∣ z - a ∣ = R$ (pusat $a$ , jari-jari $R$ ).
Garis Bagi Tegak Lurus: $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ .
Bentuk Umum Garis: $\overset{α}{ˉ} z + α \overset{z}{ˉ} + β = 0$ dengan $β \in R$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Himpunan Daerah Ketaksamaan |z - 2i| <= |z + 2|)

Gambarkan himpunan titik $z$ yang memenuhi $∣ z - 2 i ∣ \leq ∣ z + 2∣$ .

Latihan Soal Section 1.3

✏️ Latihan Soal 1 (Titik pada Lingkaran Satuan z1 + z2 + z3 = 0)

Misalkan $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ pada lingkaran $∣ z ∣ = 1$ memenuhi $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$ . Buktikan bahwa ketiganya membentuk segitiga sama sisi.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Titik berat (centroid) segitiga adalah $\frac{z _{1} + z _{2} + z _{3}}{3} = 0$ (titik asal). Dalam segitiga yang titik beratnya berimpit dengan pusat lingkaran luar (titik asal), segitiga tersebut pasti sama sisi. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Identitas Jajaran Genjang Kompleks)

Buktikan identitas jajaran genjang: $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}) = ∣ z_{1} ∣^{2} + z_{1} \overset{z}{ˉ}_{2} + z_{2} \overset{z}{ˉ}_{1} + ∣ z_{2} ∣^{2}$ . $∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = (z_{1} - z_{2}) (\overset{z}{ˉ}_{1} - \overset{z}{ˉ}_{2}) = ∣ z_{1} ∣^{2} - z_{1} \overset{z}{ˉ}_{2} - z_{2} \overset{z}{ˉ}_{1} + ∣ z_{2} ∣^{2}$ . Jumlahkan: $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Bentuk Polar, Eksponensial, dan Teorema De Moivre
Sub-Topik Selanjutnya: Topologi Dasar pada Bidang Kompleks →

Interpretasi Geometri: Garis, Lingkaran, dan Ketaksamaan Segitiga

1. Ketaksamaan Segitiga

2. Persamaan Kurva di Bidang Kompleks

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 1.3

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (18 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (14)

Bentuk Polar, Eksponensial, dan Teorema De Moivre

Topologi Dasar pada Bidang Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2024 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title