Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Diketahui polinom $p(z)=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\cdots +a_n$ dengan $a_0,a_1,\dots ,a_n$ menyatakan bilangan real. Jika $z_0=3-4i$ merupakan akar dari $p(z)$, maka salah satu akar lain yang pasti muncul adalah $\dots$

Faktorkan $x^4+1$ menjadi perkalian polinom derajat lebih rendah, tetapi memiliki koefisien real.

Tentukan jari-jari konvergensi deret $1-z^2+z^4-z^6+\dots .$

Tentukan banyaknya akar persamaan $z^4-5z+1=0$ di $1\le |z|\le 2$.

Diketahui fungsi analitik $f(z)=\frac{2(z-2)}{z(z-4)}$ dan tuliskan sebagai $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-1{)}^n$. Nilai $a_{100}$ adalah $\dots$

Diketahui $z_1=-1+i$ dan $z_2=3+4i$. Bilangan kompleks $w$ berada pada penggal garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2$. Jika $|w|=\sqrt{27}$, tentukan $w$.

Hitunglah nilai dari ${\int }_C{e}^{2/z}\mathrm{d}z$ bila $C$ adalah lingkaran satuan.

Diketahui $C$ lingkaran yang berpusat di $0$. Tentukan nilai dari ${\int }_C\frac{\mathrm{d}z}{1-z}$.

Diketahui $f$ fungsi entire (analitik di seluruh bidang kompleks) dan diketahui pula ada bilangan bulat $k$, bilangan positif $A,B$ sehingga $|f(z)|\le A+B|z{|}^k.$ Buktikan bahwa $f$ merupakan polinom dengan derajat paling tinggi $k$.

Tunjukkan bahwa : $P_n(z)=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_n$ sekurang-kurangnya mempunyai satu nilai nol.

Buktikan bahwa $\text{Ln}(z+1)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+\dots$ untuk $|z|<1$.