Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Kompleks

Misalkan $z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, manakah yang lebih besar antara $\left|\frac{z}{|z|-1}\right|\text{dan}|\arg z|.$

Diberikan $w,z\in \mathbb{C}$ dengan $|w|\ne |z|.$ Jika $\text{Re}\left(\frac{w+z}{w-z}\right)=\frac{(|w|+|z|)(|w|-|z|)}{2012}$ maka $|w-z|=\dots$

Nilai ${\int }_C\frac{1}{1-\cos z}\mathrm{d}z$ dengan $C$ lingkaran berpusat di 0 dan berjari-jari 2 adalah $\dots$

Misalkan $f(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ dengan $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n,c_0=-1$ dan $c_1=-1$, selanjutnya dengan menghitung nilai $z^{2}f(z)+zf(z)-f(z)$ maka bentuk eksplisit dari rumus $f(z)$ adalah $\dots$

Diberikan $f$ fungsi analitik pada $\mathbb{C}$, dengan $f(z)\ne 0$ untuk $|z|=1$ dan diketahui juga ${\int }_{|z|=1}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=2,{\int }_{|z|=1}\frac{z{f}^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=0,\text{dan}{\int }_{|z|=1}\frac{z^2{f}^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=1.$ Jika $Z$ adalah himpunan semua akar dari $f$ di dalam cakram satuan $|z|<1$ maka $Z=\dots$

Diberikan $\frac{1}{z^2+z-1}={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$

(a) Tunjukkan bahwa barisan ${\left(\frac{c_{n+1}}{c_n}\right)}_{n\ge 0}$ konvergen.

(b) Tentukan titik konvergensinya (nilai limitnya).

Misalkan $f$ fungsi analitik di dalam dan pada lingkaran satuan dengan $|f(z)-z|<|z|.$ Buktikan bahwa $|f^{\prime }(\frac{1}{2})|\le 8.$