Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Kompleks

Misalkan $z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, manakah yang lebih besar antara $\left|\frac{z}{|z| - 1}\right| \quad \text{dan} \quad |\arg z|.$

Diberikan $w,z\in\mathbb{C}$ dengan $|w| \neq |z|.$ Jika $\text{Re}\left(\frac{w + z}{w - z}\right) = \frac{(|w| + |z|)(|w| - |z|)}{2012}$ maka $|w - z| = \dots$

Nilai $\int_{C} \frac{1}{1 - \cos z}\mathrm{d}z$ dengan $C$ lingkaran berpusat di 0 dan berjari-jari 2 adalah $\dots$

Misalkan $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n$ dengan $c_{n + 2} = c_{n + 1} + c_n, c_0 = -1$ dan $c_1 = -1$, selanjutnya dengan menghitung nilai $z^2 f(z) + zf(z) - f(z)$ maka bentuk eksplisit dari rumus $f(z)$ adalah $\dots$

Diberikan $f$ fungsi analitik pada $\mathbb{C}$, dengan $f(z) \neq 0$ untuk $|z| = 1$ dan diketahui juga $\int_{|z| = 1} \frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = 2,\quad \int_{|z| = 1} \frac{zf'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = 0,~\text{dan}~ \int_{|z| = 1} \frac{z^2f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = 1.$ Jika $Z$ adalah himpunan semua akar dari $f$ di dalam cakram satuan $|z| < 1$ maka $Z = \dots$

Diberikan $\frac{1}{z^2 + z - 1} = \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n$

(a) Tunjukkan bahwa barisan $\displaystyle \left(\frac{c_{n + 1}}{c_n}\right)_{n\ge 0}$ konvergen.

(b) Tentukan titik konvergensinya (nilai limitnya).

Misalkan $f$ fungsi analitik di dalam dan pada lingkaran satuan dengan $|f(z) - z| < |z|.$ Buktikan bahwa $|f'(\frac{1}{2})|\le 8.$