Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Diberikan $D\subseteq \mathbb{R}$ dan fungsi $f,g : D\to\mathbb{R}$ dengan $f(x)\le g(x)$, untuk setiap $x\in D$. Beri contoh $D$, fungsi $f$ dan $g$ sehingga tidak benar bahwa $\sup \{f(x) : x\in D\} \le \inf \{g(x) : x\in D\}.$

Diketahui $(a_n)$ barisan bilangan real dengan $a_1 > 0$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{2 + a_n}$ untuk setiap $n\ge 2$, $\lim_{n\to \infty} a_n = \dots$

Diketahui fungsi $f :(a,b) \to\mathbb{R}$ terdiferensial hingga tingkat berapapun di $c\in(a,b)$. Nilai $\lim_{h\to 0} \frac{f(c + h) - 2f(c) + f(c -h)}{h^2} = \dots$

Contoh fungsi $f$ yang memenuhi $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2,$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$, adalah $\dots$

Fungsi $G$ didefinisikan dengan $\displaystyle G(x) = \int_0^{\sin x} \cos t\,\mathrm{d}t$ maka $G'(x) = \dots$

Osilasi fungsi $f$ di titik $x$ dinyatakan dengan $\omega_{f(x)}.$ Diketahui $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $r > 0$. Diberikan himpunan $E = \{x\in\mathbb{R} \mid \omega_{f(x)} \ge r\}$, closure dari $E$ adalah $\dots$

Untuk nilai $n\to\infty$, jumlahan $\sum_{k = 1}^n \sqrt{\frac{1}{n^2 + k^2}}$ konvergen ke $\dots$

Bilangan real terkecil $c$ sehingga untuk setiap $x > 0$ berlaku $\ln(1001 + 1011e^x) < c + x$ adalah $\dots$

Diketahui $A\in\mathbb{R}, x\in A$, dan $y\in A^c$. Gunakan definisi himpunan terbuka untuk menunjukkan himpunan $E = \{t\in\mathbb{R} : y + t(x - y)\in A\}$ terbuka.

Diketahui fungsi $f_n :[0,1]\to\mathbb{R}$ kontinu untuk setiap $n\in\mathbb{N},$ dan $f_1 \ge f_2 \ge f_3\ge \dots$. Jika $\displaystyle \lim_{n\to \infty} f_n(x) = 0$ untuk setiap $x\in[0,1]$, buktikan bahwa barisan $(f_n)$ konvergen seragam ke fungsi nol pada $[0,1]$.

Misalkan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ adalah fungsi yang turunan tingkat duanya ada dan $f''(x) < 0$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$. Buktikan bahwa bangun dibentuk dari titik-titik $(1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)),$ dan $(4,f(4))$ bukan jajaran genjang.