Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Aljabar Linear

Subruang $W = \{p(x) \in P_2 \mid p(1) = 0\}$ dari ruang vektor $P_2$ adalah subruang berdimensi $\dots$

Misalkan $T : P_2 \to P_2$ adalah transformasi linear yang didefinisikan sebagai $T(p(x)) = x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p(x)),\quad \text{untuk setiap}~p(x) \in P_2.$ Maka matriks representasi (penyajian) $T$ terhadap basis $\{1,x,x^2\}$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{e}$ vektor di $\mathbb{R}^2$ yang semua komponennya $1$. Jika $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^2$ memberikan $\mathbf{I} - \mathbf{ey}^T\in\mathbb{R}^{2\times2}$ singular, maka $\text{tr}(\mathbf{I} - \mathbf{ey}^T) = \dots$

Misalkan $K = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}$ adalah subruang dari ruang Euclid $\mathbb{R}^3$. Maka penulisan $(1,0,0)$ sebagai unsur $K\oplus K^\perp$ adalah $\dots$

Pandang $P_2$ dengan hasil kali dalam $\displaystyle\langle p,q\rangle = \int_0^1 p(x)q(x)\,\mathrm{d}x.$ Proses Gram-Schmidt pada $\{1,1-x\}$ menghasilkan $\dots$

Jika $\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$ adalah vektor eigen matriks $\begin{bmatrix}3 & 2 - a \\ a & -3\end{bmatrix}$, maka $a = \dots$

Jika $\mathbf{A} = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 4 & -3\end{bmatrix}$, maka $\displaystyle \sum_{k = 0}^{2012} \mathbf{A}^k = \dots$

Misalkan $\mathbf{A} \in\mathbb{R}^{6\times 6}$ tak singular dan untuk $i = 1,2,\dots,6$, kolom ke-$i$ matriks $\mathbf{A}$ adalah $\mathbf{a}_i$. Jika $\mathbf{B} = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3 & \mathbf{a}_4 & \mathbf{a}_5 & \mathbf{a}_6 & \mathbf{0}\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{6\times 6}$ dan $\mathbf{C} = \mathbf{BA}^{-1}$, banyaknya nilai eigen berbeda matriks $\mathbf{C}$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ dua unsur di $\mathbb{R}^{n\times n}$ yang memenuhi $\mathbf{B} - \mathbf{A} + \mathbf{BA} = 2\mathbf{I}$. Buktikan bahwa $\mathbf{AB} = \mathbf{BA}$.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor kompleks dan $T : V\to V$ linear. Misalkan $m$ adalah bilangan asli. Jika $\text{Ker}(T^{m - 1}) = \text{Ker}(T^m),$ buktikan bahwa $\text{Ker}(T^m) = \text{Ker}(T^{m + 1}).$

Misalkan $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{3\times 3}, \mathbf{A}\neq \mathbf{0}$, yang memenuhi $\mathbf{u}^T\mathbf{A} = 0,$ untuk setiap $\mathbf{u}\in \mathbb{R}^3.$ Selidiki kebenaran pernyataan: terdapat vektor $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ sehingga $\mathbf{Au} = \mathbf{v}\times\mathbf{u},$ untuk setiap $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3.$