Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Misalkan $1+z^2+z^4+z^6+\cdots =a$, pada $|z|<1,$ dan $a\in \mathbb{C}.$ Hasil dari $\frac{1}{1+z}(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+\dots )=\dots$

Misalkan $z$ terletak pada lingkaran $|z|=2$. Estimasi nilai $\left|\frac{z}{z^3-z^2-2z+2}\right|$ adalah $\dots$

Akar pangkat tiga dari ${\left(\frac{i-\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}\right)}^2$ adalah $\dots$

Pada $\mathbb{C}:|z|\le 3$, ${\int }_{\mathbb{C}}\frac{z}{(z^2-1)(z+2{)}^3}\mathrm{d}z=\dots$

Jika $\mathcal{C}$ sepenggal garis yang menghubungkan titik $2\sqrt{2}$ dan titik $2i\sqrt{2},$ maka estimasi nilai $\left|{\int }_{\mathcal{C}}\frac{z^2}{z^2+2}\mathrm{d}z\right|$ adalah $\dots$

Prapeta dari garis $x+y-1=0$ oleh transformasi linear $T(z)=2iz+2-i$ adalah $\dots$

${\int }_0^{2\pi }\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x\dots \cos 2^{2008}x\mathrm{d}x=\dots$

$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=1}{e}^{\sin \frac{1}{z}}\mathrm{d}z=\dots$

Misalkan $h(z)$ fungsi harmonik bernilai kompleks dan $zh(z)$ juga harmonik. Tunjukkan $h(z)$ analitik.

Misalkan $f$ analitik, $f^{\prime }$ kontinu, dan $|f(z)-1|<1$ pada suatu daerah $\mathcal{D}$. Tunjukkan bahwa ${\int }_{\mathcal{C}}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)-1}\mathrm{d}z=0,$ untuk setiap kurva tertutup $\mathcal{C}$ yang berada dalam $\mathcal{D}$.