Persamaan Cauchy-Riemann dan Syarat Keanalitikan

Persamaan Cauchy-Riemann merupakan kriteria utama yang menghubungkan turunan parsial komponen real $u$ dan imajiner $v$ dengan keanalitikan fungsi.

1. Persamaan Cauchy-Riemann

Teorema (Persamaan Cauchy-Riemann)

Jika $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ dapat diturunkan di $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ , maka turunan parsial pertamanya memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann:

$u_{x} = v_{y} dan u_{y} = - v_{x}$

Turunan $f^{'} (z_{0})$ dapat dihitung melalui: $f^{'} (z_{0}) = u_{x} + i v_{x} = v_{y} - i u_{y}$ .

Definisi (Fungsi Analitik dan Entire)

Fungsi Analitik di $z_{0}$ : $f$ dapat diturunkan pada suatu lingkungan dari $z_{0}$ .
Fungsi Entire: $f$ analitik di setiap titik pada seluruh bidang kompleks $C$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Fungsi e^z Adalah Fungsi Entire)

Buktikan bahwa $f (z) = e^{z}$ adalah fungsi entire.

Latihan Soal Section 3.3

✏️ Latihan Soal 1 (Gradien u dan v Saling Tegak Lurus)

Jika $f (z) = u + i v$ analitik, buktikan bahwa $\nabla u \cdot \nabla v = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $\nabla u = (u_{x}, u_{y})$ dan $\nabla v = (v_{x}, v_{y})$ . $\nabla u \cdot \nabla v = u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y}$ . Gunakan Cauchy-Riemann ( $u_{x} = v_{y}$ dan $u_{y} = - v_{x}$ ): $\nabla u \cdot \nabla v = (v_{y}) (- u_{y}) + (- v_{x}) (u_{x}) = - v_{y} u_{y} + v_{y} u_{y} = 0$ . Terbukti tegak lurus. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Definisi Turunan Kompleks
Sub-Topik Selanjutnya: Fungsi Harmonik dan Harmonik Konjugat →

Persamaan Cauchy-Riemann dan Syarat Keanalitikan

1. Persamaan Cauchy-Riemann

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 3.3

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (11 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (13)

Definisi Turunan Kompleks

Fungsi Harmonik dan Harmonik Konjugat

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2024 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title