Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Diketahui polinomial $p(z)$ dan $q(z)$ sehingga berlaku $p(z){\cos }^{2}z+q(z){\sin }^{2}z=2$ untuk setiap $z\in \mathbb{C}$. Hitunglah $p(1)$ dan $q(1)$.

Berikan sebuah contoh fungsi analitik tak konstan $f(z)$ di suatu himpunan buka $D\subseteq \mathbb{C}$ sehingga titik limit dari himpunan pembuat nol fungsi $f$ berada di luar $D$.

Misalkan $f(z)$ fungsi yang analitik di $|z|<R$ dengan $R>1$. Hitunglah ${\int }_0^{2\pi }f(e^{it}){\cos }^2\left(\frac{1}{2}t\right)\mathrm{d}t$ dinyatakan dalam $f(0),f^{\prime }(0),\dots$

Misalkan $f(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\dots$ dan $g(z)=b_{-2}{z}^{-2}+b_{-1}{z}^{-1}+b_0+b_{1}z+b_2{z}^2+\dots .$ Apabila deret ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$ dan ${\sum }_{n=-2}^{\infty }{b}_n{z}^n$ konvergen di $|z|<2$, hitunglah ${\int }_{|z|=1}f(z)g(z)\mathrm{d}z.$

Carilah deret Laurent dari fungsi $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ yang berlaku di:

(a) $|z|<1,$

(b) $1<|z|<2,$

(c) $|z|>2.$

Misalkan $u$ fungsi harmonik pada daerah terhubung $\Omega$ di bidang kompleks $\mathbb{C}$.

(a) Buktikan bahwa $f=u_x-i{u}_y$ merupakan fungsi holomorfik (analitik).

(b) Misalkan $u=\text{Re}(g)$ bagian real dari fungsi holomorfik (analitik) $g$. Buktikan bahwa $g^{\prime }=f$.