Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Kompleks

Tentukan argumen dari bilangan kompleks $(\sqrt 3 - 1)^6$.

Tentukan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $\sin z = 2$.

Bayangan dari $D = \{z\in\mathbb{C} : \frac{\pi}{6} \le \arg{z} \le \frac{\pi}{3}\}$ oleh $w = z^3$ adalah $\dots$

Misalkan $r, R$ dua konstanta sehingga $0 < r < R$. Misalkan $\gamma_r$ lingkaran $z = re^{i\theta}, 0 \le \theta \le 2\pi$. Hitung nilai $\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{R + z}{(R - z)z}\mathrm{d}z.$

Jika $C$ adalah lingkaran $|z| = 1$, maka nilai dari $\int_{C} \frac{\cos z}{\sin z}\mathrm{d}z = \dots$

Misalkan $f(z)$ dan konjugatnya merupakan fungsi analitik pada suatu domain terhubung. Buktikan bahwa $f$ hanyalah fungsi konstan di domain tersebut.

Misalkan $a$ dan $b$ dua bilangan real konstan dan $p$ bilangan bulat positif. Buktikan bahwa semua akar persamaan $\left(\frac{1 + iz}{1 - iz}\right)^p = a + bi$ merupakan bilangan real jika dan hanya jika $a^2 + b^2 = 1$.